Сколько простых чисел в последовательности?

[Ktina]

Дана последовательность натуральных чисел. Первый её член - произвольный, а каждый следующий получается из предыдущего таким образом: последняя цифра десятичной записи стирается, а затем прибавляется к получившемуся числу, будучи предварительно умноженной на 4. Если предыдущий член был однозначным, то прибавляем к нулю.
Например, из числа 2012 получим 209 -> 56 -> 29 -> 38 -> 35 -> 23 -> 14 -> 17 -> 29 -> циклится.

В некоторой последовательности указанного типа встретилось число вида $\underbrace{3^{3^{\cdot^{\cdot^{3}}}}}_{n>1}-1$ (степенная башня из более, чем одной троечки, уменьшенная на единичку).

Доказать, что в этой последовательности либо нет ни одного простого числа, либо бесконечно много простых чисел.

[ИСН]

Как их может быть бесконечно много, если множество значений всей последовательности заведомо конечно?

[Ktina]

ИСН в сообщении #530633 писал(а):

Как их может быть бесконечно много, если множество значений всей последовательности заведомо конечно?

Возьмите, к примеру, первый член 2012. Тогда получите бесконечно много чисел 29.

[hippie]

При данном действии сохраняется делимость на 13:
$x_{n+1} = (x_n+39m)/10,$ где $m$ — последняя цифра числа $x_n.$

Число вида $3^{3k}-1 = 27^k-1$ делится на 13.
Поэтому все числа в построенной последовательности делятся на 13.

Если само число 13 в последовательности не встретится, то простых чисел в последовательности нет.
Если в последовательности встретится число 13, то и все последующие числа равны 13.

[hippie]

Упустил, что кроме делимости на 13 сохраняется остаток от деления на 3.

Поэтому в указанной последовательности все числа сравнимы с 2 по модулю 3. Значит в ней не может встретится число 13. Следовательно, простых чисел в ней нет.

(Кроме того, эта последовательность с некоторого номера постоянна и равна 26.)