Многочлены

[Trius]

1)Пусть $P(x)$ многочлен четвертой степени с целыми коефициентами, при этом $P(1)<2^{32}$. Существует ли такой $x\in [-1;7]$,что $|P(x)|\geq 32$?
2) Найти все многочлены P(x) с целыми коефициентами и старшим коефициентом 1 , что а)$P(0)=0$ б)если $x$ иррациональное, то и $P(x)$ тоже иррациональное

[Руст]

Trius писал(а):

1)Пусть $P(x)$ многочлен четвертой степени с целыми коефициентами, при этом $P(1)<2^{32}$. Существует ли такой $x\in [-1;7]$,что $|P(x)|\geq 32$?
2) Найти все многочлены P(x) с целыми коефициентами и старшим коефициентом 1 , что а)$P(0)=0$ б)если $x$ иррациональное, то и $P(x)$ тоже иррациональное

1) Лучше было бы сформулировать так: Существует ли многочлен четвёртой степени с целыми коэффициентами все значения P(x) у которой меньше 32 при x из интервала [-1,7]. Естественно смещением на 3 интервал можно свести к [-4,4]. Очевидно, что если существует такой полином, то существует и чётный полином $P(x)=ax^4+bx^2+c$, т.е. полином второй степени с целыми коэффициентами, у которой все значения из интервала [0,16] меньше 32. Аналогично, смещением на 8 вопрос сводится к существованию многочлена с целыми коэффициентами $Q(x)=dx^2+e$, у которой все значения в интервале [-8,8] меньше 32. В свою очередь это сводится к многочлену первой степени с целыми коэффициентами с условием, чтобы все значения в интервале [-32,32] меньше 32. Что абсурд (степень 1 а не 0). Ответ на первоначальный вопрос - всегда существует.
2) Вопрос эквивалентен нахождению всех многочленов Q(x) с целыми коэффициентами со старшим коэффициентом 1, что для любого рационального r все корни уравнения xQ(x)=r рациональны. Рассматривая в качестве r простые числа приходим к тому, что Q(x)=1 имеет бесконечно много корней, т.е. P(x)=xQ(x) тождественно равен x.

[Trius]

Цитата:

все значения P(x) у которой меньше 32

это еще почему?

[Руст]

Иначе найдётся x из интервала [-1,7], что |P(x)|>=32 и ответ утвердительный. Ответ может быть отрицательным только в случае, когда все |P(x)|из этого интервала меньше 32.

[Trius]

точно , продуплил)