задачка на лемму бернсайда, как я понимаю

[overwriter]

Условие

Докажите что для всех n \in N \setminus \{1, 2, 3\} выполнено $1/n!\sum_{u \in S_{n}} a_{1}(u)^4 = 15$

Где a_{l}(u) | l \in N, u \in S_{n} - число циклов длины $l$ в цикловой записи перестановки $u$



Мои догадки (помогите продолжить):

В качестве $S_{n} возьмем$
$X = \{1, 2, 3, 4, 5, ...,n\}^4$
Будем применять лемму Бернсайда, предварительно введем отображение:
$\Phi: S_{n} \rightarrow S(X)$, такое что

$ u \rightarrow \Phi_{u}: (a, b, c, d) \rightarrow (u(a), u(b), u(c), u(d)), \\ u \in S_{n}, \Phi_{u} \in S(X), (a, b, c, d) \in X $

[Sonic86]

del

[overwriter]

overwriter в сообщении #530062 писал(а):

Условие

Докажите что для всех n \in N \setminus \{1, 2, 3\} выполнено $1/n!\sum_{u \in S_{n}} a_{1}(u)^4 = 15$

Где a_{l}(u) | l \in N, u \in S_{n} - число циклов длины $l$ в цикловой записи перестановки $u$



Мои догадки (помогите продолжить):

В качестве $S_{n} возьмем$
$X = \{1, 2, 3, 4, 5, ...,n\}^4$
Будем применять лемму Бернсайда, предварительно введем отображение:
$\Phi: S_{n} \rightarrow S(X)$, такое что

$ u \rightarrow \Phi_{u}: (a, b, c, d) \rightarrow (u(a), u(b), u(c), u(d)), \\ u \in S_{n}, \Phi_{u} \in S(X), (a, b, c, d) \in X $

введенное отображение - гомоморфизм групп S_{n} и S(X), а что же делать дальше?

-- 22.01.2012, 21:59 --

Теперь к этому нужно как-то лемму бернсайда применить видимо, но не понятно что это дает мне

-- 22.01.2012, 22:28 --

Согласно лемме Бернсайда:
$1/|G| \sum_{g \in G}|Fix_{X}(g)| = |X/G|$

и что с этим делать теперь?

[overwriter]

ага, нужно получается подсчитать количество орбит, оно должно быть 15

-- 23.01.2012, 00:14 --

не орбит, а неподвижных точек, но как их сосчитать что-то пока не ясно

[Sonic86]

(не знаю, оно это или нет)

Вы извините, что я лезу, но суммы $f_k=\frac{1}{|G|} \sum\limits_{u \in S_n} a_1(u)^k$ при $1 \leqslant k \leqslant 6$ совпадают с числами Белла
A000110
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0% ... 0%BB%D0%B0
Если это оно, может натолкнет на какую-то идею.

(вероятно опять туплю)

overwriter в сообщении #530062 писал(а):

$X = \{1, 2, 3, 4, 5, ...,n\}^4$
Будем применять лемму Бернсайда, предварительно введем отображение:
$\Phi: S_{n} \rightarrow S(X)$, такое что

$ u \rightarrow \Phi_{u}: (a, b, c, d) \rightarrow (u(a), u(b), u(c), u(d)), \\ u \in S_{n}, \Phi_{u} \in S(X), (a, b, c, d) \in X $

Я попробовал подсчитать орбиты действия $G$ на $X_k$ при $k=2$ и у меня не получается
Например: $n=2$ - в $X_2$ 4 пары, причем $(1;1) \sim (2;2)$, а $(1;2) \sim (2;1)$ - получилось 2 орбиты.
Но $n=3$: $(1;1;1) \sim (2;2;2), (1;1;2) \sim (2;2;1), (1;2;1) \sim (2;1;2) ,(2;1;1) \sim (1;2;2)$ - 4 орбиты.
Должно быть одно и то же число орбит при любом $n \geqslant k$
Хотя интерпретация формулы вполне естественна.

[overwriter]

а не подвижные точки как подсчитать?

-- 23.01.2012, 09:42 --

да и ведь $n \in N \setminus \{1, 2, 3\}$

[Sonic86]

overwriter в сообщении #530210 писал(а):

да и ведь $n \in N \setminus \{1, 2, 3\}$

Это условие в общем виде выглядит как $n \geqslant k$, т.е. все в порядке, просто при малых $n,k$ считать легче. Вы попробуйте сами подсчитать сумму для малых $k,n$ и все увидите.

overwriter в сообщении #530210 писал(а):

а не подвижные точки как подсчитать?

Не знаю. Но тут либо Вы считаете неподвижные точки для каждого $g$ и потом считаете сумму саму по себе, либо считаете число орбит (и тогда число орбит - это значение суммы и неподвижные точки считать не надо). Но вот с действием группы как-то все плохо

Рекуррентно сумму найти у меня не вышло тоже.

[Sonic86]

AV_77 писал(а):

Сборник задач по алгебре по ред. А.И. Кострикина. Задача 5.3 и указания к решению.