Как найти угол между прямой и осью x?

longstreet · 28/11/11 2884

Как находить угол $\alpha$ между прямой, соединяющей начало координат и заданную точку $A$ , и осью абсцисс?

Я думал, что всегда можно использовать $\tan \alpha=\frac{y}{x}$ . (При этом угол $\alpha$ отсчитывается от положительного направления оси $x$ в направлении, противоположном движению часовой стрелки. Или можно считать $-\alpha$ по часовой стрелки.)
Но используя эту формулу в примере с точкой $A(-2,2)$ получаю угол $\alpha=\arctan(-1)=45$ , вместо нужных $135$ (или вместо нужных хотя бы пусть $-225$ ).

Прочитал в Зельдовиче "Высшая математика для начинающих" что формула $\tan \alpha=\frac{y}{x}$ неполна: чтобы полностью определить угол, нужно либо ещё учесть знаки $x$ и $y$ либо воспользоваться другими формулами: $\cos\alpha=\frac{x}{r}$ , $\sin\apha=\frac{y}{r}$ , где $r=\sqrt{x^2+y^2}$ .

-- 22.01.2012, 16:37 --

Пробую первый путь. Знак у $x$ - минус, у $y$ - плюс. То есть, вторая четверть (второй квадрант). Как с помощью этого получить правильные $135$ градусов?

Пробую второй путь.
$\sin\alpha=\frac{2}{\sqrt{(-2)^2+(2)^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \qquad \cos\alpha=\frac{-2}{\sqrt{(-2)^2+(2)^2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$
Откуда из каждой из формул $\alpha=45$ .

Как получить нужные $135$ градусов (то есть с учётом правильного их отсчёта - от положительного направления $x$ против часовой стрелки)? И что, нет формул всегда однозначно дающих ответ, всегда нужно ополнительно смотреть на знаки? Вообще, я запутался. Помогите пожалуйста.

ShMaxG · 11/04/08 2751 Физтех

longstreet в сообщении #529895 писал(а):

Пробую второй путь.
$\sin\alpha=\frac{2}{\sqrt{(-2)^2+(2)^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \qquad \cos\alpha=\frac{-2}{\sqrt{(-2)^2+(2)^2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$
Откуда из каждой из формул $\alpha=45$ .

Да ну?

-- Вс янв 22, 2012 17:52:06 --

Сначала получаете величину синуса и косинуса искомого угла по приведенным Вами формулам. Выбираете интервал, на котором следует искать ответ (в Вашем случае, как я понял, это $\[\left[ {0,2\pi } \right)\]$ ). Решение существует и единственно и должно быть тем, что Вам нужно.

arseniiv · 27/04/09 28128

(Оффтоп)

longstreet, если вас, случайно, интересует это для программирования, то во многих языках есть функция, называющаяся обычно arctan2, в которую передаются координаты, а она уж учитывает их знаки и случай, когда $x = 0$ .

ShMaxG · 11/04/08 2751 Физтех

arseniiv

(Оффтоп)

Да, только надо на всякий случай узнать в соответствующем языке, на каком интервале ищется решение :-)

В Матлабе это $\[\left( { - \pi ,\pi } \right]\]$ .

longstreet · 28/11/11 2884

Цитата:

Сначала получаете величину синуса и косинуса искомого угла по приведенным Вами формулам.

То же самое
$\sin{\alpha}=\frac{\sqrt{2}}{2} \qquad \cos{\alpha}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Цитата:

Выбираете интервал, на котором следует искать ответ.

Можно считать и $[0,2\pi)$ и $[-\pi,+\pi]$ . В первом случае значение угла только положительное, а во втором для удобства - чтобы не иметь больших чисел - может быть и отрицательным. Мне кажется, любой из этих интервалов подойдёт.

-- 22.01.2012, 17:09 --

(Оффтоп)

Мне не для программирования, но для справки интересно, спасибо!

ShMaxG · 11/04/08 2751 Физтех

Ну Вы сами смотрите, что Вам подойдет. В обоих случаях ответ $\[{135^ \circ }\]$ .

longstreet · 28/11/11 2884

Цитата:

Ну Вы сами смотрите, что Вам подойдет.

Решение нужно смотреть совместное для $sin\alpha$ и $\cos\alpha$ , т.е.:
$\left\{ \begin{array}{rcl} \sin\alpha=&\frac{\sqrt 2}{2}\\ \cos\alpha=&-\frac{\sqrt 2}{2}.\\ \end{array} \right.$
да?

ShMaxG · 11/04/08 2751 Физтех

Да.

longstreet · 28/11/11 2884

Да, на тригонометрическом круге этому соответствует $\alpha=135$ градусов. Спасибо!

-- 22.01.2012, 17:41 --

(Оффтоп)

Моя ошибка была в том, что я решал несовместно для $\sin$ и $\cos$ .

А как то же получить первым путём, то есть использую $\tan\alpha=\frac{y}{x}$ и знаки $x$ и $y$ ?

ShMaxG · 11/04/08 2751 Физтех

Это то же самое, равенство с тангенсом используете, чтобы найти альфа. Нужно учесть, что арктангенс принимает значения на интервале $\[\left( { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right)\]$ . Пусть требуется определить решение на полуинтервале $\[\left[ {0,2\pi } \right)\]$ . Отдельно следует рассмотреть несколько случаев пар знаков у икса и игрека. Например, $\[x > 0,y \geqslant 0 \Rightarrow \alpha = \operatorname{arctg} \frac{y}{x}\]$ . Далее, $\[x < 0,y \geqslant 0 \Rightarrow \alpha = \pi + \operatorname{arctg} \frac{y}{x}\]$ . Далее, $\[x < 0,y \leqslant 0 \Rightarrow \alpha = \pi + \operatorname{arctg} \frac{y}{x}\]$ и, наконец, $\[x > 0,y \leqslant 0 \Rightarrow \alpha = 2\pi + \operatorname{arctg} \frac{y}{x}\]$ . Плюс случаи, когда $x=0$ .