Выяснить существуют ли конечные или беск. пределы пос-ей?

[shady]

Применив теорему о пределе монотонной последовательности,доказать, что существуют конечные или бесконечные пределы данных последовательностей.
$x_n=\frac{2n^2+1}{n^2}$
Исследуем пос-ть на монотонность.
$x_{n+1}-x_n=-\frac{(2n+1)}{n^2(n+1)}$
$x_{n+1}<x_n$
Видно, что пос-ть убывающая.
Выпишем три члена пос-ти: $x_1=3;x_2=2,25;x_3=2,1$
Найдем $\lim\limits_{n\to\infty}x_n$
$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{2n^2+1}{n^2}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{2+\frac1{n^2}}1=2, \text{т.к.} \frac1{n^2}\to 0$
Ответ: $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=2$
Это правильное решение? Есть неточности? Что поправить?

[svv]

$x_n=\frac{2n^2+1}{n^2}=2+\frac 1{n^2}$
Функция $\frac 1{n^2}$ при $n>0$ убывающая: из $n_2>n_1$ следует $\frac 1{n_2^2}<\frac 1{n_1^2}$ (и всё, никаких разностей). Значит, последовательность $(x_n)$ тоже убывающая.
С другой стороны, все элементы $x_n=2+\frac 1{n^2}$ положительны, т.е. ограничены снизу нулём. (Конечно, более точная оценка 2, но даже приведенной достаточно).