Помогите найти верхний/нижний пределы последовательности.

[shady]

Найти $\underline\lim\limits_{n\to\infty}x_n$ и $\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}x_n$ последовательности $x_n=\frac{n-1}{n+1}\sin\frac{2\pi n}3$
$\sin$ принимает значения:$0,\frac{\sqrt3}2,-\frac{\sqrt 3}2$
$\frac{n-1}{n+1}$-возрастает:(это становиться ясно выписывая первые члены, но докажу)
$x_{n+1}-x_n=\frac2{(n+1)(n+2)}>0$
$x_{n+1}>x_n$
Это часть-$\frac{n-1}{n+1}$ стремиться к 1. Смотрите: $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n-1}{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1-\frac1n}{1+\frac1n}=1$ т.к. $\frac1n$стремиться к 0.
Т.е. левая часть стремиться к 1, а синус периодически принимает значения приведенные выше.
Мой ответ:
$\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}x_n=\frac{\sqrt3}2$
$\underline\lim\limits_{n\to\infty}x_n=-\frac{\sqrt3}2$
Вот Вам мои примитивные рассуждения. Объясните,пожалуйста, как правильно

[kw_artem]

Смотрите на синус, какое значение принимает всегда максимальное и минимальное.

-- 22.01.2012, 17:57 --

Да все верно!