Дорешать задачу на условный экстремум методом исключения

[kalinkamalinka]

Найти условный экстремум функции Z с помощью метода исключения:
$Z=x^2 - y^2$ в области $x^2 + y^2 \le 16$ при $x-y= 4$.
у меня ход решения такой.и в учебниках вроде так же пишут,что надо выразить одну переменную через другую.
выражаю : $x=4+y$
подставляю в Z: $(4+y)^2 - y^2 $
упрощаю, получаю: $Z=16+8y$
далее надо продифференцировать вроде бы,чтобы потом найти экстремум.
дифференцирую: $z=8$

а дальше как? спасибо большое.

[kalinkamalinka]

границы для я находила. Забыла написать. Их я искала подставляя в заданное неравенство вместо выраженное значание через .
В итоге получила (-∞;-4] и [0;+∞).
Вот только как их использовать?
Что едлать дальше?
Спасибо

[PAV]

kalinkamalinka в сообщении #529318 писал(а):

далее надо продифференцировать вроде бы,чтобы потом найти экстремум.

а поточнее - как точно формулируется утверждение, с помощью которого Вы собираетесь находить экстремум?

также неплохо бы в принципе подумать над тем, что получилось, а не просто механически применять алгоритмы решения
вот получилась у Вас функция $16+8y$
что Вы вообще про нее можете сказать? График там прикиньте, например.... Что у нее вообще с точки зрения экстремумов?

[kalinkamalinka]

PAV в сообщении #529431 писал(а):

kalinkamalinka в сообщении #529318 писал(а):

далее надо продифференцировать вроде бы,чтобы потом найти экстремум.

а поточнее - как точно формулируется утверждение, с помощью которого Вы собираетесь находить экстремум?

также неплохо бы в принципе подумать над тем, что получилось, а не просто механически применять алгоритмы решения
вот получилась у Вас функция $16+8y$
что Вы вообще про нее можете сказать? График там прикиньте, например.... Что у нее вообще с точки зрения экстремумов?

Ну это прямая. Я так понимаю, экстремумов,соответственно, не имеется. Не знаю ,как насчёт условных=(

Я тут еще порешала.
В общем поработала с областью, заданной неравенством. Т.е. снова через формулу $x-y=4$ выразила $x$. Подставила. В итоге получился интервал для $y$ такой [-4;0].

А как дальше не знаю.Есть идеи,что отсюда выходит, что максимум достигается при $ y=-4 $ . И, соответственно, минимум при $y=0$.
Тогда, используя снова формулу $ x-y=4 $, нахожу иксы соответсвующие найденным игрикам.
Т.е. получается $( 0 ;-4)$ - условный максимум, а $(4;0)$ - условный минимум?

Или нет? Потому что тогда получается, что в решении вообще не была использована сама функция
$Z=x^2 - y^2$

Извините,что отнимаю Ваше время. Подскажите,пожалуйста.

[PAV]

Да, это прямая. Функция монотонна и поэтому экстремумы у нее могут достигаться только на границе области, а внутренних быть не может, поэтому находить нули производной бессмысленно (собственно, она ровно это и показала). Хочется надеяться, что Вы это будете понимать, а не просто механически действовать.

Надо с областью работать.

-- Пт янв 20, 2012 22:27:05 --

kalinkamalinka в сообщении #529452 писал(а):

Т.е. получается $( 0 ;-4)$ - условный максимум, а $(4;0)$ - условный минимум?

Да, все правильно, так и выходит.

-- Пт янв 20, 2012 22:31:01 --

kalinkamalinka в сообщении #529452 писал(а):

Или нет? Потому что тогда получается, что в решении вообще не была использована сама функция
$Z=x^2 - y^2$

Почему не была? Вы свели свою функцию от двух переменных к функции от одной, которая монотонно возрастает. После этого про нее действительно можно забыть и далее работать только с областью. Однако не забывайте, что Вы нашли не сами экстремумы, а точки, в которых они достигаются. В принципе, задача уже решена, однако для полноты ответа неплохо еще вычислить Вашу функцию в этих точках, чтобы получить собственно сами минимальное и максимальное значения.

[kalinkamalinka]

PAV в сообщении #529455 писал(а):

В принципе, задача уже решена, однако для полноты ответа неплохо еще вычислить Вашу функцию в этих точках, чтобы получить собственно сами минимальное и максимальное значения.

Спасибо большое.Принцип решения я поняла) А сами значения я найду,как я понимаю, подставив получившиеся точки в исходную функцию $Z$?)

Огромное Вам спасибо за помощь и потраченное на меня время. Желаю Вам встречать в совей жизни таких же отзывчивых людей, как Вы) Еще раз с п а с и б о!