Производная суммы и произведения, доказательство

[integral2009]

Как доказать, что

1) $(u+v)'=u'+v'$

2) $u\cdot v=u'v+uv'$

С чего нужно начать?

Могу записать по определению производной

$u'(x) = \lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}$

$v'(x) = \lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}$

$w(x)=y(x)+v(x)$

$u'(x) = \lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{w(x+\Delta x)-w(x)}{\Delta x}$

$z(x)=u(x)v(x)$

$z'(x) = \lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{z(x+\Delta x)-z(x)}{\Delta x}$

[Joker_vD]

Ну и распишите $w(x+\Delta x)=u(x+\Delta x)+v(x+\Delta x)$, $w(x)=u(x)+v(x)$. С $(uv)'$ все аналогично.

[integral2009]

Joker_vD в сообщении #529208 писал(а):

Ну и распишите $w(x+\Delta x)=u(x+\Delta x)+v(x+\Delta x)$, $w(x)=u(x)+v(x)$. С $(uv)'$ все аналогично.

Спасибо, точно с суммой все просто!

Только вот с произведением не понял как.

$z(x+\Delta x)=u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)$

$z'(x) = \lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{z(x+\Delta x)-z(x)}{\Delta x}= \lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x}$

А дальше -- не знаю как.

[ИСН]

Ну Вы же знаете ответ, ну. Ну вот и вычтите его из этого.

[Dan B-Yallay]

integral2009 в сообщении #529217 писал(а):

А дальше -- не знаю как.

отнять и добавить в числителе $u(x)v(x+\Delta x)$. Затем расписать как 2 разности.

[integral2009]

Спасибо, разобрался!