Оценка математического ожидания и дисперсии распределения

[Ofei]

Доброго времени суток!

Мой вопрос касается базовых понятий теории вероятностей и статистики, ответ на него кажется вполне очевидным, но хотелось бы услышать мнение профессионалов

Пусть, наблюдается набор из $K$ (порядка 1000) реализаций $x_k$ непрерывных случайных величин $X_k$, распределенных по одинаковому известному с точностью до параметров закону распределения с ПВ $p(X; \mathbf{\lambda})$, где $\mathbf{\lambda}$ - некоторый набор параметров распределения. Например, это может быть набор параметров функций, определяющих моменты распределения.

Вопрос, как по наблюдениям в отсутствии прочей априорной информации сформировать оценку математического ожидания и дисперсии закона распределения с наименьшей среднеквадратической ошибкой. Будет ли зависеть алгоритм от вида функции плотности вероятности (в частности интересует распределение Релея-Райса) или для любого закона распределения это будет что-то типа

$m = \frac{\sum\limits_{k=1}^K{x_k}}{K};$

$D = \frac{ \sum\limits_{k=1}^K{(x_k - m)^2}}{K}?$

[PAV]

Почитайте про оценку Питмена параметра сдвига. Мне кажется, что это близко к тому, что Вам требуется. Про нее кратко написано в энциклопедии по вероятности и статистике, также в книге Боровкова.

(Посмеялся: ввел в яндексе запрос "Питмена оценка", после чего "умная" система автоматически "исправила" в моем запросе две "синтаксические ошибки" и выдала мне ответ на запрос "Бэтмена оценка" )

[Ofei]

Спасибо, очень похоже...буду разбираться.

[мат-ламер]

Посмотрите также про метод макимального правдоподобия.

[Ofei]

Боюсь, что к нему всё и сведется, придется оценивать полный набор параметров $\lambda$, а потом считать дисперсию и мат. ожидание по плотности вероятности.

Перечитывал Вентцель и вспомнил, как кратко называется то, что мне нужно:

Я хочу получить эффективную оценку дисперсии и математического ожидания в случае закона распределения Релея-Райса.

Либо доказать, что классические оценки (как они приведены выше) проигрывают по СКО пренебрежимо мало в инженерном приближении.

PS Оценка "Бэтмена" похоже тоже может мне подойти, но пока не разобрался с группами сдвигов))

PPS Вентцель же ответила на первую часть вопроса: в общем случае классические формулы дают несмещенные оценки, но при этом не обязательно эффективные.

[PAV]

Правильно я понимаю, что интересующее Вас распределение является частным случаем распределения Вейбулла? Для последнего имеются различные методы оценки параметров, которыми Вы можете в этом случае воспользоваться.

И еще - Ваша работа теоретическая, то есть Вам нужно построить оценку и доказать ее свойства, или прикладная, то есть важна собственно хоть какая-то оценка (разумеется, чем ближе она окажется к оптимальной, тем лучше, но в крайнем случае нужна хоть какая-то)?

[Ofei]

Мне кажется, распределение Вейбулла в общем случае не сводится к распределению Райса (функция Бесселя мешает):
Распределение Райса
Распределение Вейбулла

Задача моя прикладная, но иметь максимальное теоретическое обоснование - это замечательно))

Если говорить подробнее - у меня есть алгоритм, в основе которого лежит оценивание дисперсии и мат.ожидания плотности вероятности по реализациям случайных величин при априорной информации о том, что закон распределения - Рэлея-Райса.

В данный момент я оцениваю их с помощью классических формул для среднего и выборочной дисперсии, которые я привел выше. Согласно Вентцель, они несмещенные, но, в общем случае, не эффективные.

Меня, с практической точки зрения, интересуют два вопроса:
1) Насколько я проиграл по СКО относительно эффективного алгоритма
2) Что из себя представляет эффективный алгоритм для данного закона распределения, насколько он сложнее классических оценок и применим ли на практике.

Пока для меня очевидно только то, что при увеличении истинного математического ожидания алгоритм должен стремиться к эффективному, так как закон распределения переходит в нормальный. Но практическую ценность алгоритма определяет и область, в которой распределение переходит в распределение Рэлея.

PS Спасибо за помощь, сегодня узнал много нового из статистики)) К сожалению, слабая теоретическая подготовка не позволяет до конца осознать Ваши намеки))

[PAV]

Да, это распределение Рэлея сводится к Вейбуллу, а Райса - нет.

В английской википедии написано про оценки последнего, там и конкретные ссылки на работы есть:
http://en.wikipedia.org/wiki/Rice_distribution

Введите в гугле запрос "rice distribution estimation" - там сразу много конкретных ссылок на статьи возникает. Много материала наберете.

[Ofei]

Огромное спасибо! =)