Можно ли задать вещественную функцию счётным числом точек?

[Legioner93]

Интересует такой вопрос. Например $f(n)=e^n, n \in \mathbb{Z}$. Требуется восстановить значения функции на вещественной прямой.
Вопрос наверняка "баян", возможно я что-то пропустил в курсе матана:)
Касательно вообще произвольных функций и функций $C^{k}(\mathbb{R})$ (порядок гладкости k) всё понятно: просто соединяем точки полиномами нужной степени (кажется это называется сплайнами). Таких функций сколько угодно. Это правильно?
Трудности у меня начинаются, если рассматривать $C^{\infty}(\mathbb{R})$ функции, а также аналитические функции.
Будет ли их тоже бесконечное количество? Если да, то как строить такие функции?

[Joker_vD]

Legioner93 в сообщении #529075 писал(а):

Будет ли их тоже бесконечное количество?

Конечно — полиномы-то абсолютно гладки.

[Legioner93]

Joker_vD в сообщении #529076 писал(а):

Legioner93 в сообщении #529075 писал(а):

Будет ли их тоже бесконечное количество?

Конечно — полиномы-то абсолютно гладки.

Хм. А что же тогда называют дефектом сплайна?

[Joker_vD]

Блин, нельзя отвечать на вопросы в два часа ночи Забудьте, я не учел, что у вас $\mathbb N$ опорных точек. Хм, что $C^k(\mathbb R)$ бесконечно много, интуитивно понятно. А вот $C^\infty(\mathbb R)$... может, попробовать ряд Тейлора восстановить?

[svv]

Legioner93, на всякий случай замечу, что однозначно восстановить функцию по её значениям в опорных точках $x_n=n\in\mathbb{Z}$ не получится. Например, Вы можете к $f(x)$ прибавить конечную или бесконечную сумму $\sum\limits_k a_k \sin \pi k x$, и это не изменит её значения в опорных точках.

См. ещё Теорема Котельникова.

[Legioner93]

svv
Большое спасибо:) Отличное решение
Остался такой вопрос: а если мы не знаем ни одной $f(x)$, подходящей под условие?
Т.е. если мы имеем одну $f(x)$, то автоматически имеет сколько угодно функций. Но вот как найти эту первую?

UPD:
Вспомнил про известную задачу об аналитическом продолжении $a\uparrow \uparrow a$ и понял, что это из другой оперы:) Вопрос снят.