Гиперболический котангенс дробного порядка

[Alik]

Рассмотрим функцию

$f_a(t)=\frac{2\tau}{t^2E_{a,2}^2\left(\frac{-t^a}{\tau}\right)}\int_{0}^{t}E_{a,1}^2\left(\frac{-x^a}{\tau}\right)dx$

где $E_{a,1}(z)$ и $E_{a,2}(z)$ функции Миттага-Лефлера.

Для частного случая $a=1$

$E_{1,1}(z)=e^z$ и $E_{1,2}(z)=\frac{e^z-1}{z}$ так, что
$E_{1,2}\left(\frac{-t}{\tau }\right)=\frac{\tau}{t}\left(1-e^{\frac{-t}{\tau}}\right)$
$\int_{0}^{t}E_{1,1}^2\left(\frac{-x^a}{\tau}\right)dx=\frac{\tau}{2}\left(1-e^{\frac{-2t}{\tau }}\right)$

Таким образом $f_1(t)=\frac{1+e^{\frac{-t}{\tau}}}{1-e^{\frac{-t}{\tau}}}=coth\left(\frac{-t}{2\tau}\right)$
обозначая $\frac{-t}{\tau}=z$ получим

$f_1(t)=coth\left(\frac{z}{2}\right)$

Требуется выразить $f_a(t)$ через обобщенные гиперболические функции.