уравнения в частных производных третьего порядка

[zhe]

собственно интересует все:
определение типа, постановки краевых задач, общая теория (правда на сколько я знаю она не очень разработана)

заранее благодарен

[Юрий Косовцов]

Кое-что из этих вопросов обсуждалось на этом форуме раньше. Смотрите

Не могу найти интегрирующие множители для ДУ

Там приведены некоторые ссылки по теме представления общих решений некоторых систем линейных и нелинейных уравнений в частных производных. Заметьте, что уравнение (система) высшего порядка легко сводится к системе уравнений первого порядка простым добавлением новых зависимых переменных.

[zhe]

вы правы действительно можно привести уравнение высокго порядка к системе уравнений первого порядка однако будет ли это в данном случае целесообразно
По большому счету хотелось бы просто определить тип уравнения и поставить для него коррекную начально-краевую задачу
а затем предполагается решать численно
если вам интересно уравнеие имеет следующий вид:

$ (h_1\frac{\partial}{\partial h_1}+ h_2\frac{\partial}{\partial h_2})(\frac{\partial^2 u}{\partial X_1^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial X_2^2}-\frac{\partial^2 u}{\partial h_1^2}-\frac{\partial^2 u}{\partial h_2^2})=t\frac{\partial }{\partial t}(\frac{\partial^2 u}{\partial h_1^2}-\frac{\partial^2 u}{\partial h_2^2}) $

есть сильное подозрение что оно гиперболическое хотя скорее всего оно все таки смешанного типа.
так что все таки хотелось бы какую нибудь литературу

[Юрий Косовцов]

Мне представляется, что начинать рассмотрение выписанного Вами уравнения с какой-либо классификации не совсем целесообразно. Сначала нужно сформулировать все условия задачи: начальные и граничные условия (по крайней мере те, которые Вам существенны - оставшиеся можно будет добавить по ходу решения). Далее более четко определить что Вам нужно в качестве результата (лучше с возможными вариантами для отступлений)- аналитическое выражение (точное или приближенное), "число", т.е. значения неизвестной функции в некотором наборе точек и т.п. Что Вы собираетесь делать с результатом (например, подставлять в другое уравнение, анализировать корни и т.п.). От этого сильно зависят все дальнейшие действия и в том числе необходимость классификации ДУ. Если у Вас есть возможность, опишите задачу более подробно.

[zhe]

задачу я постараюсь описать более подробно но несколько позже
однако я не совсем вас понял
вы предлагаете выбрать граничные и начальные условия однако на сколько я понимаю их выбор будет диктоваться как раз типом уравнения иначе начально краевая задача будет просто не коректна

[zhe]

Возможно, у меня получится запутанно и не понятно, но я только
начал разбираться с этой задачей, поэтому трудновато что-то
сформулировать.

Данное уравнение описывает следующий геофизический процесс. Есть
некоторая плоскостная система наблюдений. Если грубо то есть набор
источников возмущения и приемников (и это все на плоскости). В
результате мы получаем некоторый набор данных (сейсмотрасс) каждая
сейсмотрасса по сути своей элемент пространства $ (X_1, h_1, X_2, h_2)$ где $(X_1, X_2) $ - координаты середины отрезка источник
-приемник $(h_1,h_2)$ так называемые удаления (расстояние между
источником и приемником). Их два т.к. они откладываются в
ортогональных направлениях. t - это некоторое время (в данном
уравнении это не физическое время). Данное уравнение описывает
некоторое преобразование сейсмограмм в пространстве $(X_1, h_1, X_2, h_2, t)$.

Для чего это предпологается применять. Допустим имеется некоторая
область в данном пространстве (для простоты "квадрат"). В этой
области есть известные и неизвестные нам сейсмотрассы (скажем так
известно может быть от силы процентов 10-20). Но вполне может
оказаться что на границах "квадрата" известны все сейсмотрассы.
Хочется найти все сейсмотрассы внутри данной области.

Таким образом максимально что нам известно это значение функции U
на границе области и кое какие значения внутри (которые можно
использовать для дальнейшего уточнения). Ну естественно для
момента t=0 известно что возмущения нет ($u(X_1, h_1, X_2, h_2,t=0)\equiv0$).

вот такая задачка.

[Юрий Косовцов]

К сожалению я не специалист по сейсмологии, поэтому я не понял постановку задачи. Не только математической ее формулировки, но и физической сути.
Во-первых не очень понятна область (да и размерность) пространства независимых переменных.
Во-вторых, Вы говорите об источниках и приемниках, но в приведенном Вами ДУ источников я не вижу (по-крайней мере как не сейсмолог). Если источников нет, то единственным решением ДУ при данном Вами начальном условии будет 0.

[zhe]

ладно попробуем так:

что такое сейсмическое наблюдение (сейсмотрасса): срабатывает некотрый источник возмущения и в результате на некотором приемнике мы получаем сейсмотрассу (кривую зависящую от времени). Соответсветно мы имеем для каждой сейсмотрассы: $ (r_1,r_2)$ - координата приемника и $ (s_1,s_2)$ - координата источника. Таким образом каждая сейсмотрасса по своей сути и элемент пространства ($ (s_1,s_2,r_1,r_2)$).
Мы имеем дело как раз с набором таких сейсмотрасс.
Данное уравнение как раз и описывает некоторое преобразование одних сейсмотрасс в другие.

Фактически нельзя говорить о том что мы работаем в физическом пространстве скорее это некоторое пространство записей (наблюдений). Поэтому и не видно никаких источников в уравнении по крайней мере если рассматривать его с физической точки зрения.

Возможно так более понятно?