Единственность противоположного элемента лин. пространства

[K3nz1]

Докажите единственность противоположного элемента для любого элемента линейного пространства. Помогите, с доказательствами туго)

[Taus]

Предположите что их два, а потом докажите, что их разность равна 0.

[K3nz1]

а подробней пожалуйста)

[Taus]

Покажите сначала ваши попытки решения.

[svv]

K3nz1, Вы принадлежите к тому типу задающих вопросы, которые ничего не хотят делать сами.
Вам дали совет -- мало. Вам решение целиком выписать?

[K3nz1]

всё, сообразил) спасибо)

-- 18.01.2012, 20:49 --

если можно) я не силён в линейной алгебре, я в других сферах науки и пердметах хорош)

[arseniiv]

Это замечательно! Но какая же тут линейная алгебра? Это пока маловато для линейной алгебры! На маленькую группочку только тянет.

[K3nz1]

ну вопрос просто из раздела линейной алгебры)

[svv]

И вопрос, я так понял, остается? Тогда напишите, пожалуйста, хоть какие-то мысли по поводу задачи.

[arseniiv]

K3nz1 в сообщении #528429 писал(а):

ну вопрос просто из раздела линейной алгебры)

Эквивалентный вопрос возникает при определении единственности обратного элемента в теории групп. Группа «общее» линейного пространства. Вот что я имел в виду. И что линейная алгебра очень большая, а это даже ещё не начало её начала.

Так вы там сообразили или ещё нет? Если нет,

В общем, пусть у нас у элемента $\mathbf a$ есть два обратных: $\mathbf a'$ и $\mathbf a^*$. Т. е. имеем $\mathbf a + \mathbf a' = \mathbf 0 = \mathbf a + \mathbf a^*$. Возьмём $\mathbf a'$ [почему именно его: если взять что-то другое, то ничего не получится (кроме $\mathbf a^*$, с ним получится почти то же самое доказательство)] и начнём его преобразовывать:

$\mathbf a' = \mathbf a' + \mathbf 0 = \mathbf a' + (\mathbf a + \mathbf a^*) = \ldots$

Вот тут и начинается самое интересное! Раскрывайте скобки!

(А если сообразили, то всё равно проверить не вредно, вдруг не то? )

Надеюсь, меня не упрекут за такую маленькую подсказку. (Эти доказательства, действительно, трудно понять, как начать.)

[dolboxlop]

извините, у меня тотже вопрос интересует. а нельзя так сделать a+a'=0=a+a*
отнимем а из всех частей a'=-a=a* это не будет считать доказательством?

[arseniiv]

А мы разве умеем отнимать?

На линейном пространстве из определения задана только бинарная операция сложения. Чтобы определить вычитание, нужно сначала доказать единственность обратного элемента, а мы ещё не.

-- Чт янв 19, 2012 21:23:32 --

Имеется в виду следующее: пока мы не доказали, что $a' = a^*$, мы не можем однозначно определить $b-a$, т. к. не ясно, $b+a'$ это или $b + a^*$ (или вообще какое-нибудь $b+\tilde a$).