Интуитивные соображения: Допустим траектория

началась в области

, но вышла из неё. Тогда найдётся момент

, когда эта траектория пересекла границу, т.е.

. При этом, поскольку траектория вышла из области

, то существует

такое, что

для всех

. Но тогда

для достаточно малых

. Далее делим на

и пробуем перейти к пределу (или как-нибудь по формуле Лагранжа), чтобы получить противоречие.
В пределе вполне может получиться ноль и противоречия мы не получим. А вот если в условии потребовать не

, а

, то тогда получим. Только правильнее до перехода к пределу рассматривать не моменты времени, большие первого выхода за границу (ибо тогда решение может быть, вообще говоря, где угодно), а меньшие этого момента, тогда решение железно находится внутри области и в пределе точно получится неотрицательное значение.
Если всё-таки остановиться на условии

, то могу отметить следующее: вовсе не обязательно рисовать контрпримеры с выходом по касательной, такой пример вполне можно создать, когда векторное поле

направлено радиально от центра к границе окружности или сферы, главное, чтобы норма

при приближении к границе вела себя соответственно, например, что-то типа

при

(и непрерывно достроить

на отрезке
![$[0,1/2]$ $[0,1/2]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/7/07713983562e3ea358cf856f5b3ca3c382.png)
, так, чтобы

. Тогда при приближении к границе круга или сферы радиусом

решение будет переходить её точно так же, как

пересекает

.
Здесь всё дело в единственности решения. Если потребовать эту единственность (вместе с существованием, естественно), то тогда, по всей видимости, доказать удастся и в случае

. Рассуждения следующие: если допустить, что какое-то решение выходит из

, то по нему можно построить другое решение, которое никогда не выходит за пределы

- начиная с момента первого выхода, рассмотреть проекцию первого решения на границу

, воспользовавшись тем, что

в точке выхода - эта проекция также будет решением и мы будем двигаться по

бесконечно или до момента, пока

опять не направит нас внутрь области

- а далее всё начинается с начала. Получим таким образом второе решение, что будет противоречить единственности. В указанном выше примере единственности нет, ибо мы можем как пересечь границу, как

переходит

при переходе

через

- первое решение, так и навсегда остаться на границе в точке её достижения - второе решение, аналог того, что

при

и

при

.
Кстати, на форуме есть похожая задача
в этой теме.