Куб. ур-ние

[-sss-]

из системы подобной этой(№3) вышло такое ур-ние:
t^3-t^2+t*(17-3a)/2-a=0
Найти а, при которых ровно 3 ответа...
(Я правильно понял, что t1=t2 и при этом t3<>t1, а ответами будут комбинации: (t1;t1;t3)(t1;t3;t1)(t3;t1;t1)?)

[Lion]

Нужно посчитать дискриминант этого уравнения. Кубическое уравнение будет иметь три вещественных корня тогда и только тогда, когда он положителен.
Я не помню, как считается дискриминант общего кубического уравения, но его можно привести заменой $t=x+1/3$ к уравнению $x^3+px+q=0$, а для него дискриминант равен $D=(-108)((q/2)^2+(p/3)^3)$.

Добавлено спустя 2 минуты 24 секунды:

А можно просто нарисовать график функции $y=t^3-t^2$ и посмотреть, когда прямая $y=A$ пересекает его в трех точках...

[незваный гость]

Имеется в виду три разных комплексных корня, три разных вещественных корня, или три вещественных корня (все равно каких)?

[-sss-]

исправил уравнение.

[Capella]

-sss-

Всё равно придётся сводить к решению Кардано. Отмечу, что общяя замена выглядит вот так: $x = y - \frac b {3a}$ (понятно, что здесь $b= -1, a=1$)

[Руст]

Думаю идёт речь о трёх действительных корнях. Решается просто $g(t)=\frac{17-3a}{2}t-a,f(t)=t^2-t^3, \ \ g(t)=f(t)$. Про g(t) известно, что g(2/3)=17/3. В этой точке f(t) имеет максимальное значение < 17/3. Поэтому, три корня будут тогда и только тогда, когда (17-3a)/2 будет меньше наклона касательной, проведённой через точку с координатами (2/3,17/3) к графику f(t). Для нахождения х-овой координаты точки касания получаем уравнение $\frac{17/3-x^+x^3}{2/3-x}=f'(x)=2x-3x^2$. Решая это уравнение получаем нераенство a>(17-2f'(x))/3=(17-4x+6x^2)/3. При нестрогом неравенстве (a=17-4x+6x^2)/3 получается один кратный и один простой корень.

[Gordmit]

Я бы решал так.
Приведем уравнение к виду $t^2(t-1)=\frac{3a-17}{2}t+a$.
Слева стоит функция $f(t)=t^2(t-1)$, график которой легко построить. Справа стоит линейная функция, ее график - прямая.

Теперь нужно выяснить, при каких значениях $a$ прямая пересекает график функции $f(t)$ в трех различных точках.

Далее рассматриваем два случая: $a\geqslant 0$ и $a<0$.
Учитывая, что прямая проходит через точку $(0,a)$, в каждом из случаев определяем условие на угловой коэффициент прямой, при котором будет три точки пересечения.

Например, для $a<0$ получится условие $\frac{3a-17}{2}>k(a)$, где $k(a)$ - угловой коэффициент касательной к $f(t)$, проходящей через точку $(0,a)$ (его несложно выписать). (Что-то вроде такого неравенства будет и при $a\geqslant 0$.)

Далее это неравенство решаем и пересекаем с соответствующим множеством ($a\geqslant 0$ или $a<0$), и в результате получаем ответ.

[-sss-]

прийдется решать графическим методом, т.к. во всех полученых уравнениях иррациональные корни(это что-то означает или нет??)

[Gordmit]

-sss- писал(а):

прийдется решать графическим методом, т.к. во всех полученых уравнениях иррациональные корни(это что-то означает или нет??)

В каких полученных уравнениях?

[Someone]

Из заданного уравнения выражаем $a=\frac{2t^3-2t^2+17t}{3t+2}=\frac 23t^2-\frac{10}9t+\frac{173}{27}-\frac{346}{27(3t+2)}$. Графиком этой функции является трезубец Ньютона: вверх направлены две параболические ветви и одна гиперболическая с асимптотой $t=-\frac 23$, вниз - одна гиперболическая. Функция имеет один минимум, который обозначим $a_{\min}$, других экстремумов нет. При $a>a_{\min}$ заданное уравнение имеет три различных корня, при $a=a_{\min}$ - два, при $a<a_{\min}$ - один.
Дифференцируя, находим $\frac{da}{dt}=\frac 43t-\frac{10}9+\frac{346}{9(3t+2)^2}=\frac{2(6t^3+3t^2-4t+17)}{(3t+2)^2}$. Производная обращается в $0$ в точке $t_{\min}=-\frac 16\left(1+\sqrt[3]{319+2\sqrt{25258}}+\sqrt[3]{319-2\sqrt{25258}}\right)\approx-1.77495$.
Подставляя $t_{\min}$ в выражение для $a$, получим $a_{\min}=\frac 1{18}\left(125+\sqrt[3]{332123+1168\sqrt{25258}}+\sqrt[3]{332123-1168\sqrt{25258}}\right)\approx 14.3341$.

[-sss-]

Gordmit писал(а):

-sss- писал(а):

прийдется решать графическим методом, т.к. во всех полученых уравнениях иррациональные корни(это что-то означает или нет??)

В каких полученных уравнениях?

1способ)одно полученое из самой системы:
3z^3-12z^2+7z-66=0 (см. пост №1, где z есть t3)
2способ)второе по формуле Кардано, как писал Lion
1458a^3-82863a^2+346896a-435107<0
или их все-таки можно решить?

[Gordmit]

Действительно, похоже, что придется в любом случае использовать формулу Кардано.

[Руст]

Другого не дано для этого примера. Я так же не найдя (его нет) рациональный корень больше 2/3 не стал доводит решения до конца. По видимому, в условии закралась ошибка.

[-sss-]

да, действительно, нашел ошибку. всем спасибо

p.s. а можно подробнее про корни...
например, как назвать такие (t1;t1;t3)(t1;t3;t1)(t3;t1;t1)
тогда их искать так? q2/4+p3/27 =0

[Lion]

В таких случаях говорят, что уравнение имеет кратный корень $t_1$. При этом если говорят о количестве корней в такой ситуации, обычно уточняют, считать ли кратные корни за один или нет.
Кратные корни можно искать, приравняв дискриминант к 0. Но гораздо легче воспользоваться тем, что если $x_0$ --- кратный корень многочлена $P(x)$, то $x_0$ --- корень многочлена $P'(x)$, поэтому можно просто найти наибольший общий делитель многочленов $P(x)$ и $P'(x)$ и найти его корни. Они и будут кратными.