Физический смысл гранусловий уравнения Пуассона

[10110111]

Есть уравнение Пуассона (1D): $\nabla^2\varphi(x)=-\frac{\rho(x)}{\varepsilon_0}$. Для него требуется два гранусловия. Первое, например, $\varphi(x_1)=\varphi_1$, устанавливает начало отсчёта потенциала. С ним всё понятно. Но требуется второе, типа $\varphi(x_2)=\varphi_2$.
Но если $\varphi(x_1)\ne\varphi(x_2)$, то получается, что пара гранусловий уже задаёт разность потенциалов, а значит, какое-то дополнительное поле (причём в одномерном случае это поле линейно, как от точечного заряда).
Правильно ли я тогда понимаю, что уравнение Пуассона не просто даёт распределение потенциала для заданного распределения заряда, но предполагает наличие какого-то внешнего поля? Если нет, то в чём физический смысл этой странной разности потенциалов?

[anatoliy_kiev]

10110111 в сообщении #526232 писал(а):

Первое, например, $\varphi(x_1)=\varphi_1$, устанавливает начало отсчёта потенциала. С ним всё понятно.

начало отсчета потенциала на бесконечности (как правило), где он берется за нуль

10110111 в сообщении #526232 писал(а):

Но требуется второе, типа $\varphi(x_2)=\varphi_2$.
Но если $\varphi(x_1)\ne\varphi(x_2)$, то получается, что пара гранусловий уже задаёт разность потенциалов, а значит, какое-то дополнительное поле (причём в одномерном случае это поле линейно, как от точечного заряда).

правильно, гранусловия фиксируют потенциалы на границе по отношению к бесконечности, но потенциал между $x_1$ и $x_2$ может меняться (и меняется) так, как ему диктует $\rho(x)$. Так что никакого противоречия нет

[Munin]

Допустим, у вас заряды подвешены в каком-то диэлектрике (с $\varepsilon=1$), помещённом в конденсатор. Вы можете подключить обкладки конденсатора к внешнему источнику напряжения, и задать между ними какую угодно $\Delta\varphi.$ Это и будет отвечать заданию второго потенциала.

anatoliy_kiev
Тут явно рассматривается задача в конечной области.

[anatoliy_kiev]

Munin в сообщении #526237 писал(а):

anatoliy_kiev
Тут явно рассматривается задача в конечной области.

по-моему, не обязательно. Из Вашего примера можно поставить задачу найти потенциал вне такого конденсатора.

[Munin]

Нет, не у меня, а у автора темы. Я всего лишь подобрал физический пример, иллюстрирующий его математическую задачу.

[ewert]

10110111 в сообщении #526232 писал(а):

Правильно ли я тогда понимаю, что уравнение Пуассона не просто даёт распределение потенциала для заданного распределения заряда, но предполагает наличие какого-то внешнего поля?

В конечном счёте -- да, но лучше всё-таки говорить не о "поле". Граничные условия в любом варианте (что для электростатики, что для теплопроводности или диффузии) -- это те или иные условия взаимодействия области с внешней средой.

[Munin]

В частном случае, действительно, с внешним наложенным на систему полем. Но это ограничивается не только электростатикой, но и конкретным видом гранусловий. Даже для уравнения Пуассона гранусловия бывают разных видов (условия Неймана и Дирихле), и могут отображать внешне заданные условия не на поле, а на заряды.

[Alex-Yu]

10110111 в сообщении #526232 писал(а):

Правильно ли я тогда понимаю, что уравнение Пуассона не просто даёт распределение потенциала для заданного распределения заряда, но предполагает наличие какого-то внешнего поля?

Да, правильно, если уравнение на конечном отрезке. Только корректней сказать не "внешнего поля", а внешних (вне этого отрезка) зарядов. Физически ваша одномерная задача соответсвует такой ситуации. Есть конденсатор, подключенный к источнику фиксированного напряжения а внутри конденсатора еще и заряды, причем в виде однородных слоев вдоль пластин. Какие бы заряды в этих слоях ни были, все равно разность потенциалов на пластинах равна напряжению источника.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #527482 писал(а):

Только корректней сказать не "внешнего поля", а внешних (вне этого отрезка) зарядов.

Корректней сказать, что уравнению всё равно. Просто оно знает, что на одном конце отрезка потенциал один, а на другом - другой, а какими плясками с бубном этого добились - ему неважно.

Я скромно напомню, что уравнение Пуассона отображает физическую ситуацию не только в электростатике, но и для других физических законов. Тогда конкретный смысл буковки $\varphi$ будет разный, и способы задания её на концах отрезка - тоже разные.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #527583 писал(а):

Корректней сказать, что уравнению всё равно.

Да, конечно, уравнению все равно. Но вопрос-то был о физическом смысле того факта, что потенциалы на концах задаются дополнительно. А это вполне естественно. Как только мы ограничили рассматриваемую область отрезком, так сразу мы ничего детального не можем сказать о том, что вне этого отрезка. И должны задавать гранусловия, которые и описывают в сокращенном виде, что происходит снаружи. В общем уравнения -- уравнениями, а физика -- физикой. Это разные вещи