Численное интегрирование (ЧМ) Доказательство точности ф-лы

[Alexeybk5]

Здравствуйте

вот такая задача дана

Положим, что g это непрерывная функция 2 порядка на $[-1/2,1/2]$
Рассмотрим следующую формулу интегрирования

$$\int_{-1/2}^{1/2} g(x)dx \approx 1/3 (g(-\frac{\sqrt{2}}{4})+g(0) + g(\frac{\sqrt{2}}{4}))) $$

Показать, что эта формула интегрирования является точной для функции g для любого полинома степени меньше или равного 3


-----

я сначала думал, что тут можно как-то выразить эту формулы через формулу Симпсона и потом, показать, что так как ошибка в формуле сипсона равна нулю для многочленов меньше или равной 3 степени, то тогда она верна.
Но тут меня поставило в тупик, тот факт, что функция g у нас не известна и если разложить интегрирование по интервалу
$[-1/2,1/2]$ через метод Симпсона, то соединить это с данной формулой никак не получится.

Товарищи, выручайте :--)

[vvsss]

Возьмите кубический полином с произвольными коэффициентами и подставьте в обе части выражения.
При наличии некоторого нахапьства, проверьте только для x^3, x^2, x и с

[Евгений Машеров]

А к чему нахальство? Полином линейно выражается через $x^3$, $x^2$, x и c. То есть всё строго, достаточно эти четыре одночлена проверить. При этом для нечётных очевидный ноль, для константы тоже сразу видно, то есть единственно надо для $x^2$ проверить.

[Alexeybk5]

Спасибо, а ларчик просто открывался)

п.с. ещё интерестно продолжение этого номера:

используя доказанную формулу, определить приближённое значение

$\int_{0}^{2} \exp^{\frac{(x-1)^2}{4}} dx$

наверное тут надо поменять пределы интегрирования и тупо подставить, не так ли ?

[Alexeybk5]

Всё решил, это тоже было не сложно
Спасибо за ответы