Существование квадратного корня, аккуратное доказательство

[Unconnected]

Доказывается тут теорема о существовании квадратного корня, задаются два множества, в одном все числа, квадрат которых <a, во втором - квадрат которых >a. Доказывается, например, что в первом нет верхней границы:
$(x+e)^2<a$
$x^2+2ex+e^2<a$

Дальше тут какие-то загадочные штуки, говорят мол обозначим $ e=\frac{1}{2} \min(1;\frac{a-x^2}{2x+1})$, потом подставляют - угадали!) Я догадываюсь, откуда это получилось (из неравенства выше), но прямо к этому вывести не получилось.
Решил неравенство выше относительно e , получилось что $e \in (0,\sqrt{a}-x)$ , это можно считать за доказательство того, что максимума нет?

[Cash]

Это в корне неверно, извините за каламбур...
Вы еще только собираетесь доказать существование корня, а потому в доказательстве не имеет права присутствовать $\sqrt a$. Из-за этого и появляются загадочные штуки.

[Unconnected]

Ну да.. а как тогда вывести то, что "обозначают", не с потолка же?
Можно, конечно, рассмотреть случай, когда e<1 , тогда в неравенстве квадрат в $e^2$ можно опустить, и получится нужная формула. Но зачем в конспекте ещё min(1,,,, приплетено, не знаю.

[Cash]

Ну вот, почти сами и разобрались. $e$ определяете вы сами. Ваша задача: подобрать такое $e>0$, чтобы считая неравенство $x^2<a$ верным, выполнялось также и неравенство $(x+e)^2<a$.
Вы закидываете пробный камень: $e=1$. Если $(x+1)^2<a$ то больше искать вам не нужно - предъявляете $e=1$. Если же нет, то тогда вам $e$ нужно еще уменьшить. При этом уже будет выполняться неравенство $e^2 < e$ и если $x^2+2ex+e<a$, то и тем более $x^2+2ex+e^2<a$.
Ну а коэффициент $0.5$ взят для подстраховки, чтобы гарантировать выполнение строгих неравенств и не заморачиваться о значениях на концах получаемых нами интервалов.

[Unconnected]

А.. блин, всё просто, однако) Спасибо!