Примеры по теореме Штольца.

[Fatalist_hero]

Доброго времени суток всем! Такая проблема: я занимаюсь курсовой работой по теореме штольца и мне нужны примеры пределов, которые можно найти с помощью теоремы Штольца. Я был бы очень признателен, если б мне привели парочку примеров для раскрытия неопределенностей 0/0 и inf/inf.

[Whitaker]

Доказать, что если $p$-натуральное число, то:
1) $\lim \limits_{n\to \infty}\dfrac{1^p+2^p+\dots+n^p}{n^{p+1}}=\dfrac{1}{p+1}$
2) $\lim \limits_{n\to \infty}\dfrac{1^p+3^p+\dots+(2n-1)^p}{n^{p+1}}=\dfrac{2^p}{p+1}$
3) $\lim \limits_{n\to \infty}\Big(\dfrac{1^p+2^p+\dots n^p}{n^p}-\dfrac{n}{p+1}\Big)=\dfrac{1}{2}$

[Полосин]

Если $x_n\to+\infty\, то $\dfrac{x_1+...+x_n}{n}\to+\infty$.

[SpBTimes]

(Оффтоп)

Полосин
а почему не идейнее, что если $x_n \to a$, то ....

[Полосин]

SpBTimes, автор просил сообщить примеры на раскрытие неопределенностей.

[SpBTimes]

(Оффтоп)

Полосин
моя невнимательность

[Fatalist_hero]

Спасибо Вам большое! И последнее, если можно, ради примера, не могли бы вы показать, как решить 1-ый пример?

[Joker_vD]

Fatalist_hero в сообщении #526275 писал(а):

И последнее, если можно, ради примера, не могли бы вы показать, как решить 1-ый пример?

По теореме Штольца, рассматриваем вместо исходного предел $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^p}{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}}$. Он находится самым обычнейшим способом: расписываем знаменатель по формуле сокращенного умножения, сокращаем его с числителем, смотрим на то, что от него осталось.

[Fatalist_hero]

Спасибо всем!) А вот еще по поводу неопределенности 0/0 можете пример какой-нибудь подкинуть?