Факториальная дробь

[Dave]

Пусть $a$ и $b$ - неотрицательные целые числа. Докажите, что число

$$\frac {(an)!(am)!} {n!m!(bn+m)!(n+bm)!}$$

является целым для всех неотрицательных целых $n$ и $m$ тогда и только тогда, когда

$$a > \max \, \{b+\sqrt b, 1\}.$$

[Edward_Tur]

Ответ такой же тут:
topic10580.html

[Dave]

Edward_Tur в сообщении #526938 писал(а):

Ответ такой же тут:
topic10580.html

Это, мягко говоря, разные задачи. К тому же, в данной задаче ответом является доказательство

[nnosipov]

Случай $b=0$ неинтересен, вполне без него можно было бы обойтись. Принципиальных отличий от topic10580.html не видно.

[Dave]

nnosipov в сообщении #527026 писал(а):

Случай $b=0$ неинтересен, вполне без него можно было бы обойтись. Принципиальных отличий от topic10580.html не видно.

А доказательство необходимости условия?

[nnosipov]

Dave в сообщении #527251 писал(а):

А доказательство необходимости условия?

Придётся, конечно, повозиться с формулой Лежандра, но сложности, скорее всего, будут технического характера. Задача сама по себе вполне интересная, но сам сюжет по модулю topic10580.html не представляется новым.

[Dave]

На самом деле это обобщение этой задачи с олимпиады США 1975 года. Неравенство, аналогичное содержащемуся в вышеуказанной теме, созданной Edward_Tur (там, кстати, нужно добавить ещё $[x]+[y]$ в правую часть), я вывел независимо и могу доказать чуть проще в алгебраической форме, без всяких геометрических соображений. Что касается доказательства необходимости, то оно не очень сложно, но представлят определённый интерес.

[nnosipov]

Dave в сообщении #527655 писал(а):

На самом деле это обобщение этой задачи с олимпиады США 1975 года. Неравенство, аналогичное содержащемуся в вышеуказанной теме, созданной Edward_Tur (там, кстати, нужно добавить ещё $[x]+[y]$ в правую часть), я вывел независимо и могу доказать чуть проще в алгебраической форме, без всяких геометрических соображений. Что касается доказательства необходимости, то оно не очень сложно, но представляет определённый интерес.

Да, об этой американской задаче я в первую очередь и подумал. Она, если не ошибаюсь, есть в книге "Зарубежные математические олимпиады" (М., Наука, 1987). Тоже в своё время хотелось обобщить, но как-то забылось. А Вы пошлите её в "Квант" или "Математику в школе", может, подскажут, были ли раньше какие-либо обобщения. Я бы ещё посмотрел Amer. Math. Mothly тех лет, возможно, там что-то есть в этом духе.

Нашёл у себя вот такую задачу: доказать, что число

$$ \frac{(5m)!(3n)!}{m!n!(m+n)!(3m+n)!} $$

является целым при натуральных $m$ и $n$. В "Зарубежных ..." той американской задачи не оказалось, это я ошибся, а встречал я её, похоже, там же --- на aops.

[RIP]

А в чём проблема с необходимостью? Условие целочисленности отношений факториалов очевидно эквивалентно тому, что $\lfloor ax\rfloor+\lfloor ay\rfloor\ge\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor+\lfloor bx+y\rfloor+\lfloor x+by\rfloor$ для произвольных $x,y\in[0,1]$ (это ещё Ландау заметил), а в той теме необходимость выводится из чуть более слабого условия.

[Edward_Tur]

nnosipov в сообщении #527663 писал(а):

Да, об этой американской задаче я в первую очередь и подумал. Она, если не ошибаюсь, есть в книге "Зарубежные математические олимпиады" (М., Наука, 1987). Тоже в своё время хотелось обобщить, но как-то забылось. А Вы пошлите её в "Квант" или "Математику в школе", может, подскажут, были ли раньше какие-либо обобщения. Я бы ещё посмотрел Amer. Math. Mothly тех лет, возможно, там что-то есть в этом духе.

Задачу $\lfloor ax+by\rfloor+\lfloor bx+ay\rfloor\ge\lfloor cx+dy\rfloor+\lfloor dx+cy\rfloor$ я отправлял в "Квант" в 1980-х годах, но получил ответ, что задача не вызовет интерес у читателей.

[nnosipov]

Edward_Tur в сообщении #527721 писал(а):

Задачу $\lfloor ax+by\rfloor+\lfloor bx+ay\rfloor\ge\lfloor cx+dy\rfloor+\lfloor dx+cy\rfloor$ я отправлял в "Квант" в 1980-х годах, но получил ответ, что задача не вызовет интерес у читателей.

Ну, крутой был "Квант" и его читатели в те времена, вот и заелись Зато сейчас в "Задачнике Кванта" иногда такие очевидности проскакивают.

[Dave]

RIP в сообщении #527692 писал(а):

А в чём проблема с необходимостью? Условие целочисленности отношений факториалов очевидно эквивалентно тому, что $\lfloor ax\rfloor+\lfloor ay\rfloor\ge\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor+\lfloor bx+y\rfloor+\lfloor x+by\rfloor$ для произвольных $x,y\in[0,1]$ (это ещё Ландау заметил), а в той теме необходимость выводится из чуть более слабого условия.

Ну теперь, после этой задачи, мне понятно, как и этот результат Ландау доказать. На самом деле это не сложно. Вот если бы Ландау вывел условие на коэффициенты для справедливости рассматриваемых неравенств, в общем виде - это было бы другое дело.

nnosipov в сообщении #527663 писал(а):

В "Зарубежных ..." той американской задачи не оказалось, это я ошибся, а встречал я её, похоже, там же --- на aops.

Странно, а я нашёл в "Зарубежных..." - задача 8.10 на стр. 30.

[nnosipov]

Dave в сообщении #527744 писал(а):

Странно, а я нашёл в "Зарубежных..." - задача 8.10 на стр. 30.

А я проглядел только первые три параграфа и подумал, что дальше нет.

[Dave]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #527747 писал(а):

Dave в сообщении #527744 писал(а):

Странно, а я нашёл в "Зарубежных..." - задача 8.10 на стр. 30.

А я проглядел только первые три параграфа и подумал, что дальше нет.

Тем самым доказано, что неполный поиск недостоверен.

[RIP]

Dave в сообщении #527744 писал(а):

Вот если бы Ландау вывел условие на коэффициенты для справедливости рассматриваемых неравенств, в общем виде - это было бы другое дело.

Это да. Но тут даже для одного неизвестного, походу, целая наука: http://arxiv.org/abs/0709.1977, http://arxiv.org/abs/0710.3459v2.