Задача по теории вероятности

[PAV]

Ничего не понял из написанного. На сегодня я удаляюсь. Невырожденных случаев я вижу три: когда точка внутри треугольника, над ним и справа от него.

[YaR]

Хорошо.Спасибо, будем думать

[YaR]

Я надумал слежующее:
$F(x,y) = 0$ при $0\ge x$ или $0\ge y$
$F(x,y) = 1$ при $x\ge b$ или $y\ge b$
На счёт остальных случаев я затрудняюсь.

-- 15.01.2012, 14:49 --

Ещё вопрос появился: для нахождения ковариации есть формула: $Cov xy = Mxy - MxMy$
Какие брать пределы интегрирования при вычислении Мхy?
Mxy нахожу так:

$$\int\int xy p(x,y) dx dy$$

[PAV]

А ничего, что еще только вчера Вы считали $F(0.5,2)$, которая оказалась меньше 1 несмотря на то, что в ней $y>b=1$? Это я насчет второго Вашего утверждения. Первое правильное, однако есть и другие случаи, когда ф.р. равна нулю, например легко увидеть графически что $F(\frac{b}{2},\frac{b}{2})=0$

-- Вс янв 15, 2012 14:51:31 --

YaR в сообщении #527118 писал(а):

Какие брать пределы интегрирования при вычислении Мхy?
Mxy нахожу так:

$$\int\int xy p(x,y) dx dy$$

В этой формуле интеграл берется по всей плоскости (аналогично ситуации, когда Вы применяли условие нормировки для нахождения значения плотности - там тоже интеграл от плотности по всей плоскости должен быть равен 1).

[YaR]

Извинняюсь, опечатался. Второй случай будет выглядеть так:
$F(x,y) = 1$ при $x\ge b$ и $y\ge b$

-- 15.01.2012, 15:02 --

"там тоже интеграл от плотности по всей плоскости должен быть равен 1"
Интеграл

$$\int_{0}^{b}\int_{b-y}^{b} xy p(x,y) dx dy$$

Должен быть равен единице?

[PAV]

Так верно. Ну теперь посмотрите графически, какие области для точки $(x,y)$ остались неохваченными, и рассмотрите их.

YaR в сообщении #527121 писал(а):

"там тоже интеграл от плотности по всей плоскости должен быть равен 1"
Интеграл

$$\int_{0}^{b}\int_{b-y}^{b} xy p(x,y) dx dy$$

Должен быть равен единице?

Нет, я имел в виду только что там тоже был интеграл от плотности по всей плоскости.

[YaR]

Кажется понял:
$F(x,y) = 0$ при $0\ge x$ или $0\ge y$ или $x+y < b$
$F(x,y) = 1$ при $x\ge b$ и $y\ge b$
$F(x,y) = x^2/b^2$ при $y> b$ и $b \ge x\ge 0$
$F(x,y) = y^2/b^2$ при $x> b$ и $b \ge y\ge 0$
Подскажите как рассмотреть область самого треугольника, не понимаю

[PAV]

Кажется правильно, арифметику в двух последних случаях не проверял. Но деление на случаи правильное.

Остался последний случай когда точка внутри треугольника. А какие там сложности? Точно такое же рассуждение. Пересечение областей устроено очень просто - это тоже прямоугольный треугольник.

[YaR]

Выделить оставшуюся область можно так: $x+y>b$ и $x<b$ и $y<b$
А как найти функцию здесь не понимаю

-- 15.01.2012, 16:54 --

У меня только такой вариант:

$$F(x,y) = \int_{0}^{x}\int_{b-x}^{y} p(x,y) dy dx $$

[PAV]

Честно говоря, я не понимаю, какие затруднения могут возникнуть для нахождения $F(x,y)$ когда точка $(x,y)$ внутри треугольника. Точно так же, как Вы до этого находили $F(0.5,2)$, например. Рисуете области, находите пересечение. его площадь.... В чем конкретно затруднение возникло?

[YaR]

Проблема получить формулу. Эта функция веть должна зависеть от х и от у?
Через час нужно идти сдавать, осталось только эту функцию найти

-- 15.01.2012, 17:31 --

Путём обдумывания и сложных преобразований получил следующую формулу:

$$F(x,y) = \frac{2xy}{b^2} - \frac{2y}{b}-\frac{2x}{b}+1+\frac{y^2}{b^2}+\frac{x^2}{b^2}$$

При подставлении значений $x = 0.5 , y = 0.75, b=1$ получили значение $F(0.5,0.75) = 0.0625 = \frac{1}{16}$
При графическом вычислении получается тоже самое

-- 15.01.2012, 17:34 --

Или такой вариант без преобразований:

$$F(x,y) = \frac{(y-b+x)(x-b+y)}{b^2}$$

-- 15.01.2012, 17:37 --

Ну или ещё проще

$$F(x,y) = \frac {2(x+y-b)}{b^2}$$

[PAV]

YaR в сообщении #527203 писал(а):

Или такой вариант без преобразований:

$$F(x,y) = \frac{(y-b+x)(x-b+y)}{b^2}$$

Это правильно, а вот как Вы так хитро получили из него последнюю формулу - я не понял. Вы умножили некоторое выражение $S$ само на себя и получили $2S$?

[YaR]

Аааа, блин, там должно быть в квадрате, а не умножение на двойнку. Всё понял, вот в принципе всё, спасибо, пойду сдаваться. Спасибо за помощь, у Вас железные нервы

[PAV]

Натренировал за годы общения со студентами.

[YaR]

Задачу сдал!
Преподаватель проверил только плотности распределения, мат. ожидания и дисперсию. Ещё раз спасибо, хоть разобрался что да как)