Уравнение в целых числах

[Ramos]

Всем привет!
Помогите решить такую задачку. Недавна ее предлажили у нас на городской олимпиаде.
Решить в целых числах уравнение: $1!+2!+\dots+n!=y^2$, где $n$-натуральное
Заранее благодарю!

[Whitaker]

Задача в принципе красивая.
Ну можно сделать так: решить задачу "от фундамента".

[Ramos]

Whitaker как эта?

[Whitaker]

Вот так эта
Если $n=1$, то $y=\pm 1$
Если $n=2$, то $y^2=3$ здесь ничего не имеем
Если $n=3$, то $y=\pm 3$
Если $n=4$, то $y^2=33$ аналогично здесь всё плохо
Если $n\geq 5$, то здесь уже нужно кое-что заметить

[Ramos]

Если $n$ больше или равно $5$, то $n!=10m+1!+2!+3!+4!$

[Whitaker]

Написав всё это на нормальном языке получим:
если $n\geq 5$, то $n!\equiv 3 \pmod{10}$
Вам понятно, то что я написал?

[Ramos]

Нет
Объясните пажалуйста что вы написали

[Whitaker]

В своей предыдущей записи я имею в виду следующее:
Если число $n\geq 5$, то последней цифрой в $n!$ будет $3$.
Вы ведь тоже самое написали!

Ramos в сообщении #526949 писал(а):

Если $n$ больше или равно $5$, то $n!=10m+1!+2!+3!+4!$

Теперь отсюда делайте выводы

[Ramos]

Ну тепер понятно. Но как решить дальше?

[Whitaker]

При $n \geq 5$ у вас число $n!$ оканчивается на $3$ и при этом является квадратом некоторого $y$. К большому сожалению этого быть не может т.к. квадрат числа не может оканчиваться на $3$.

[Ramos]

Whitaker искренее вам спасибо!
Получается, что единственные решения эта: $(n, y)=(1, \mp 1), (3, \mp 3)$ ???

[Whitaker]

Да всё верно!

[Joker_vD]

Не "$n!\equiv3\pmod{10}$ при $n\geqslant5$", а "$1!+2!+\ldots+n!\equiv3\pmod{10}$ при $n\geqslant5$". А так все верно решили.

[Whitaker]

Joker_vD спасибо, что исправили

[DjD USB]

Стандартная задача