Аппроксимация функции Миттаг-Лефлера

[profrotter]

Я конечно извиняюсь, но чем вам не угодили аппроксимации, предложенные в
сообщении #421557
сообщении #421606
Там очень хорошие результаты для интеграла вероятностей. Его легко связать с $erfc$. Погоняйте в том же маткаде.

[sergei1961]

$$\frac{1+\frac{(-4+\pi ) \sqrt{z}}{2 \sqrt{\pi }}}{1+\frac{\sqrt{\pi } \sqrt{z}}{2}}$$

Может быть вблизи нуля такое сойдёт. А при $z>2$ кажется и так уже хорошо.

-- 13.01.2012, 16:06 --

А это, если нужна большая точность:

$$\frac{1+\frac{(16-5 \pi ) \sqrt{z}}{\sqrt{\pi } (-8+3 \pi )}+\frac{(-28+9 \pi ) z}{6 (-8+3 \pi )}}{1+\frac{\sqrt{\pi } \sqrt{z}}{-8+3 \pi }+\frac{(32-9 \pi ) z}{6 (-8+3 \pi )}}$$

[Alik]

Спасибо. А как насчет интеграла $\int_{0}^{t}\left [E_{\alpha,1}(\lambda z^\alpha)\right ]^2 dz$ ?

[sergei1961]

Умом понятно, что это функция типа Фокса, но чтобы точно посчитать-надо подумать, и чтобы повезло.
Похоже, что сшивка Паде в нуле и цепной дроби после Вас устроила?

[Alik]

Я так понял, что первое, простое приближение аналогично $e^{-x}\approx \frac{2-x}{2+x}$, оно вполне устраивает, хотя неплохо бы посмотреть на Паде третьего порядка. С интегралом, думается мне, все гораздо сложнее...

[Alik]

Здесь C. Atkinson and A. Osseiran, "Discrete-space time-fractional processes," Fractional Calculus and Applied Analysis, Vol. 14, no.2, 2011, pp.201-232
нашел другую аппроксимирующую функцию $E_{\frac{1}{2}}(-x)=\frac{1+\frac{\pi -2}{\sqrt{\pi}}x}{1+\sqrt{\pi}x+(\pi-2)x^2}$

[sergei1961]

МАТЕМАТИКА даёт такое приближение того же порядка:
PadeApproximant[Exp[x^2] Erfc[x], {x, 0, {1, 2}}]

$$ \frac{1-\frac{8 (-3+\pi ) x}{3 (-4+\pi ) \sqrt{\pi }}}{1-\frac{2 \sqrt{\pi } x}{3 (-4+\pi )}+\frac{(8-3 \pi ) x^2}{3 (-4+\pi )}}. $$

Думаю получше будет. За ссылку спасибо.
Замена в приведённой Вами формуле, например, коэффициента при иксе сверху эквивалентна формуле

$$ \pi -2\approx \frac{8(\pi-3)}{3(4-\pi)} \Longleftrightarrow \pi\approx \frac{10}{3}, $$

если я правильно сосчитал. И остальные коэффициенты получены некоторым огрублением Паде.
C интегралом-если не удастся найти готовую формулу, то похоже единственный путь-возводить функцию ошибок в квадрат в явном виде, пытаться в двойном ряде сосчитать внутренний ряд из гамма-функций. А если нужен численный результат-то можно сразу от интеграла брать Паде, не считая его.

[Alik]

Я пользуюсь Mupad, который для $E_{\frac{1}{2},1}(-z)=e^{z^2}erfc(z)$ дает $-\frac{24\, x - 8\, \pi\, x - 12\, \sqrt{\pi} + 3\, {\pi}^{\frac{3}{2}}}{2\, \pi\, x + 12\, \sqrt{\pi} - 3\, {\pi}^{\frac{3}{2}} - 8\, \sqrt{\pi}\, x^2 + 3\, \ {\pi}^{\frac{3}{2}}\, x^2}$.
Однако, для более общего случая $E_{a,1}(z)=\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{z^k}{\Gamma\left(a\, k + 1\right)}$ найти приближение Паде он не может.
Можно было взять это приближение, возвести в квадрат и проинтегрировать от $0$ до $t$.
Mathematica может "сразу от интеграла брать Паде, не считая его"?

[Alik]

Извиняюсь, сразу не заметил, в той же статье есть общая формула:

$E_{a}(-x) =\frac{1}{\Gamma(1-a)\,}\frac{p_{1}(a)+x}{q_{0}(a)+ q_{1}(a)x +\left x^2}$,
где
$p_{1}(a) = \frac{\Gamma(1+a) - \frac{\Gamma(1+a)\,{\Gamma(1-a)}^2}{\Gamma(1- 2a)}}{\Gamma(1+a)\Gamma(1-a) - 1}$

$q_{0}(a) = \frac{\frac{\Gamma(1+a)}{\Gamma(1-a)}-\frac{\Gamma(1+a)\, \Gamma(1-a)}{\Gamma\left(1 - 2\, a\right)}}{\Gamma(1+a)\Gamma(1-a) - 1}$

$q_{1}(a) = \frac{\Gamma(1+a) - \frac{\Gamma(1-a)}{\Gamma(1- 2a)}}{\Gamma(1+a)\Gamma(1-a) - 1}$

[sergei1961]

C интегралом я сдаюсь.