Вывод преобразований Лоренца для геометрии Римана

[vadym.vikulin]

Здравствуйте!

Предлагаю обсудить вывод преобразований Лоренца.
Для начала рассмотрим замедление времени.

$$t'=\frac{t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \eqno (1)$$

Для получения формулы (1) рассмотрим такой вариант.

Аналогичным способом можно рассмотреть треугольник со сторонами ct', Vt, ct для случая геометрии Римана. Т е уже использовать теорему Пифагора в таком виде:

$$\cos{ct'}=\cos{Vt} \cos{ct} \eqno (2)$$

где ct', Vt, ct - стороны сферического треугольника.

Однако, для продолжения темы, нужно ответить на два вопроса:

1) Будет ли корректным рассматривать вывод формулы (1) через сферический треугольник по формуле (2)?

2) Если да, будет ли это интересно/полезно вообще?

[Munin]

1. Преобразования Лоренца некорректно рассматривать по отдельности.
2. И для их рассмотрения наиболее удобна псевдоевклидова геометрия (геометрия Минковского).

[vadym.vikulin]

Munin в сообщении #526288 писал(а):

1. Преобразования Лоренца некорректно рассматривать по отдельности.
2. И для их рассмотрения наиболее удобна псевдоевклидова геометрия (геометрия Минковского).

1. Получить преобразования Лоренца - это конечная цель. Я же ставлю вопрос о выводе формулы (1).

внимательней читайте.

2. Удобнее - не значит, что эта геометрия лучше всего отражает реальность. Т е какая геаметрия пространства на самом деле?

Т е вопросы 1. 2. остаются.

-- 13.01.2012, 04:25 --

vadym.vikulin в сообщении #526286 писал(а):

Аналогичным способом можно рассмотреть треугольник со сторонами ct', Vt, ct для случая геометрии Римана. Т е уже использовать теорему Пифагора в таком виде:

$$\cos{\frac{ct'}{R}}=\cos{\frac{Vt}{R}} \cos{\frac{ct}{R}} \eqno (2)$$

где ct', Vt, ct - стороны сферического треугольника, R - радиус сферы.

Исправил (2). Под cos должны быть безразмерные величины.

[EvilPhysicist]

vadym.vikulin в сообщении #526286 писал(а):

Предлагаю обсудить вывод преобразований Лоренца

Зачем?

vadym.vikulin в сообщении #526289 писал(а):

1. Получить преобразования Лоренца - это конечная цель. Я же ставлю вопрос о выводе формулы (1).

Без остальных преобразований она смысла несёт очень мало.

vadym.vikulin в сообщении #526289 писал(а):

2. Удобнее - не значит, что эта геометрия лучше всего отражает реальность. Т е какая геаметрия пространства на самом деле?

Да.

[Munin]

vadym.vikulin в сообщении #526289 писал(а):

1. Получить преобразования Лоренца - это конечная цель. Я же ставлю вопрос о выводе формулы (1).

Вот пытаться их получить по отдельности - и есть неправильный путь к этой цели. Их надо сразу получать как систему.

vadym.vikulin в сообщении #526289 писал(а):

2. Удобнее - не значит, что эта геометрия лучше всего отражает реальность. Т е какая геаметрия пространства на самом деле?

В данном случае значит. А Римана тут не прицепить никак. Самое большее удаётся прицепить Лобачевского, и то только как подпространство в Минковском.

[vadym.vikulin]

Munin в сообщении #526564 писал(а):

vadym.vikulin в сообщении #526289 писал(а):

1. Получить преобразования Лоренца - это конечная цель. Я же ставлю вопрос о выводе формулы (1).

Вот пытаться их получить по отдельности - и есть неправильный путь к этой цели. Их надо сразу получать как систему.

vadym.vikulin в сообщении #526289 писал(а):

2. Удобнее - не значит, что эта геометрия лучше всего отражает реальность. Т е какая геаметрия пространства на самом деле?

В данном случае значит. А Римана тут не прицепить никак. Самое большее удаётся прицепить Лобачевского, и то только как подпространство в Минковском.

Собственно, аргументы "против" не слишком сильны поэтому продолжу.

-- 13.01.2012, 20:52 --

Для начала нужно исправить неточности в (2). Было непрвильно задана сторона Vt. Должно быть Vt'.

$$ \cos{\frac{ct'}{R}}=\cos{\frac{ct}{R}}\cos{\frac{Vt'}{R}} \eqno (2)$$

Сделаем приближение R>>ct',R>>ct и R>>Vt'. Раскладывая cos в ряд Тейлора, ограничимся, пока, 2-й степенью:

$$1-\frac{(ct')^2}{2R^2}=(1-\frac{(ct)^2}{2R^2})(1-\frac{(Vt')^2}{2R^2}) \eqno (3)$$

Решая уравнение (3) относительно t' получаем:

$$ t'=\frac{t}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}+\frac{V^2t^2}{2R^2}}} \eqno (4)$$

Я отбросил отрицательное решение. Как видно в (4) добавилось слагаемое под корнем $\frac{V^2t^2}{2R^2}$, стемящееся к 0 при $R \to \infty$. Что согласуется со значением

$$\frac{1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}} $$

.

Самый важный вывод из формулы (4) - это формально нет ограничения скорости V<c. Если рассматривать результаты экперимента на LHC как правильные, то, возможно, геометрия Минковского не идеальный вариант и нужно искать альтернативы.

[EvilPhysicist]

vadym.vikulin в сообщении #526575 писал(а):

Собственно, аргументы "против" не слишком сильны поэтому продолжу

Вообще-то они очень сильны, просто вам лень разбираться.

vadym.vikulin в сообщении #526575 писал(а):

Если рассматривать результаты экперимента на LHC как правильные, то, возможно, геометрия Минковского не идеальный вариант и нужно искать альтернативы.

%facepalm%

[vadym.vikulin]

Цитата:

vadym.vikulin в сообщении #526289 писал(а):

2. Удобнее - не значит, что эта геометрия лучше всего отражает реальность. Т е какая геаметрия пространства на самом деле?

В данном случае значит. А Римана тут не прицепить никак. Самое большее удаётся прицепить Лобачевского, и то только как подпространство в Минковском.

А Вы, уважаемый, пробовали "цеплять" эту геометрию?

[Munin]

vadym.vikulin в сообщении #526575 писал(а):

Собственно, аргументы "против" не слишком сильны поэтому продолжу.

А как вы оцениваете силу аргументов? Динамометром?

vadym.vikulin в сообщении #526597 писал(а):

А Вы, уважаемый, пробовали "цеплять" эту геометрию?

Угу. Ещё в детстве, на старших курсах. Но уже когда знал и СТО и геометрию Римана, и ещё кучу всяких нетривиальных вещей, так что подготовлен был к таким попыткам лучше вас.

Но вы упражняйтесь, это полезно... На всякий случай, вычисления в геометриях Римана, сферической (что то же самое) и Лобачевского гораздо удобнее вести, если считать их геометриями на поверхности сферы и псевдосферы, и вместо внутренних координат пользоваться ортогональными координатами того пространства, в которое они вложены.

-- 14.01.2012 00:56:30 --

vadym.vikulin в сообщении #526575 писал(а):

Если рассматривать результаты экперимента на LHC как правильные

Справедливости ради, это вообще не эксперимент на LHC. Это эксперимент на двух установках, одна из которых расположена в CERN, а другая - в лаборатории LNGS в Гран-Сассо в Италии. Полное название этого эксперимента на двух установках - OPERA (это важно, чтобы знать, по чему гуглить). CERN - это не синоним LHC, это большой научный центр, в котором много экспериментальных установок, а LHC - только одна из них. Со стороны CERN реально была задействована установка SPS (параллельно работающая как одна из предварительных ступеней LHC), со стороны LNGS - установка Hall C. Вот такие пироги.

[Nemiroff]

Получите вот такое, пожалуйста.

$$x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2}}$$

$$t'=\frac{t-vx}{\sqrt{1-v^2}}$$

А потом такое:

$$\begin{Vmatrix} t' \\ x' \\ y' \\ z' \end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix} \gamma&-v_x\,\gamma&-v_y\,\gamma&-v_z\,\gamma\\ -v_x\,\gamma&1+(\gamma-1)\dfrac{v_x^2}{v^2}&(\gamma-1)\dfrac{v_x v_y}{v^2}&(\gamma-1)\dfrac{v_x v_z}{v^2}\\ -v_y\,\gamma&(\gamma-1)\dfrac{v_y v_x}{v^2}&1+(\gamma-1)\dfrac{v_y^2}{v^2}&(\gamma-1)\dfrac{v_y v_z}{v^2}\\ -v_z\,\gamma&(\gamma-1)\dfrac{v_z v_x}{v^2}&(\gamma-1)\dfrac{v_z v_y}{v^2}&1+(\gamma-1)\dfrac{v_z^2}{v^2}\\ \end{Vmatrix} \begin{Vmatrix} t \\ x \\ y \\ z \end{Vmatrix}$$

(Оффтоп)

Цитата:

Со стороны CERN реально была задействована установка SPS (параллельно работающая как одна из предварительных ступеней LHC), со стороны LNGS - установка Hall C.

По форме напоминает LOL OMG WTF?

[Утундрий]

Nemiroff
Да, если перемножить несколько вполне респектабельных матриц, обязательно получится какой-то Джиахон Фионаф.

[Munin]

(Оффтоп)

Nemiroff в сообщении #526617 писал(а):

По форме напоминает LOL OMG WTF?

Ну что поделать, все аббревиатуры таковы, чем CIA лучше? LNGS, как я понимаю, что-то вроде "национальная лаборатория Гран-Сассо", OPERA даже расшифровывать не хочется, SPS - Super Proton Synchrotron, остальное и так все знают.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #526624 писал(а):

OPERA даже расшифровывать не хочется

Проект по Осцилляциям с Механизмой Отслеживания ЭИмульсии.

[vadym.vikulin]

Munin в сообщении #526610 писал(а):

vadym.vikulin в сообщении #526575 писал(а):

Собственно, аргументы "против" не слишком сильны поэтому продолжу.

А как вы оцениваете силу аргументов? Динамометром?

vadym.vikulin в сообщении #526597 писал(а):

А Вы, уважаемый, пробовали "цеплять" эту геометрию?

Угу. Ещё в детстве, на старших курсах. Но уже когда знал и СТО и геометрию Римана, и ещё кучу всяких нетривиальных вещей, так что подготовлен был к таким попыткам лучше вас.

Но вы упражняйтесь, это полезно... На всякий случай, вычисления в геометриях Римана, сферической (что то же самое) и Лобачевского гораздо удобнее вести, если считать их геометриями на поверхности сферы и псевдосферы, и вместо внутренних координат пользоваться ортогональными координатами того пространства, в которое они вложены.

-- 14.01.2012 00:56:30 --

vadym.vikulin в сообщении #526575 писал(а):

Если рассматривать результаты экперимента на LHC как правильные

Справедливости ради, это вообще не эксперимент на LHC. Это эксперимент на двух установках, одна из которых расположена в CERN, а другая - в лаборатории LNGS в Гран-Сассо в Италии. Полное название этого эксперимента на двух установках - OPERA (это важно, чтобы знать, по чему гуглить). CERN - это не синоним LHC, это большой научный центр, в котором много экспериментальных установок, а LHC - только одна из них. Со стороны CERN реально была задействована установка SPS (параллельно работающая как одна из предварительных ступеней LHC), со стороны LNGS - установка Hall C. Вот такие пироги.

Силу оцениваю по степени влияния. Я пока привожу мат игру формул, а Вы сразу требуете строгий формализм для вывода ПЛ. Т е степень влияния Вашего замечания очень мала.

На счет поупражнятся. Да, сверхсветовые скорости - это стоящее дело. Да и попытка не пытка.

-- 14.01.2012, 00:55 --

Nemiroff в сообщении #526617 писал(а):

Получите вот такое, пожалуйста.

$$x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2}}$$

$$t'=\frac{t-vx}{\sqrt{1-v^2}}$$

А потом такое:

$$\begin{Vmatrix} t' \\ x' \\ y' \\ z' \end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix} \gamma&-v_x\,\gamma&-v_y\,\gamma&-v_z\,\gamma\\ -v_x\,\gamma&1+(\gamma-1)\dfrac{v_x^2}{v^2}&(\gamma-1)\dfrac{v_x v_y}{v^2}&(\gamma-1)\dfrac{v_x v_z}{v^2}\\ -v_y\,\gamma&(\gamma-1)\dfrac{v_y v_x}{v^2}&1+(\gamma-1)\dfrac{v_y^2}{v^2}&(\gamma-1)\dfrac{v_y v_z}{v^2}\\ -v_z\,\gamma&(\gamma-1)\dfrac{v_z v_x}{v^2}&(\gamma-1)\dfrac{v_z v_y}{v^2}&1+(\gamma-1)\dfrac{v_z^2}{v^2}\\ \end{Vmatrix} \begin{Vmatrix} t \\ x \\ y \\ z \end{Vmatrix}$$

(Оффтоп)

Цитата:

Со стороны CERN реально была задействована установка SPS (параллельно работающая как одна из предварительных ступеней LHC), со стороны LNGS - установка Hall C.

По форме напоминает LOL OMG WTF?

Собственно в первых двух формулах, мне кажется, проблемы с размерностью.

[Nemiroff]

$c=1$, конечно. Забыл указать.
Во второй тоже.