SUPER ZADACHA

[sadomovalex]

bot писал(а):

(27,222) это наибольший общий делитель, он конечно не 1, а 3.

поторопился
там просто достаточно взять минимальное m, при котором k - целое

[bot]

И получим, что $k=2\cdot 37 \cdot s$, а $a_0+a_1+a_2=9s$, то есть сумма цифр кратна 9.

[sadomovalex]

bot писал(а):

И получим, что $k=2\cdot 37 \cdot s$, а $a_0+a_1+a_2=9s$, то есть сумма цифр кратна 9.

ну да - то есть то, что Вы уже указали

[Руст]

Неверно, что (222,27)=1/
Если число имеет по крайней мере две различные цифры x и y, перестановками переместим их на два последних места и получим, что 9(x-y) делится на 27. Т.е. все цифры дают одинаковый остаток при делении на 3. Рассмотрим k значные числа. Если остаток всех цифр при делении на 3 равно 0, то поделив на 3, сумма цифр должна делится на 3. Для к значных надо вычислить количество решений $x_1+x_2+...+x_k=0(mod \ 9), x_i=0,1,2,3, \ x_1\not =0$ что вычисляется сведением к системе $y_0+y_1+y_2+y_3=k, y_1+2y_2+3y_3=0(mod \ 9)$ исключая, начинающиеся на 0. В нашем случае это только 999. Случай, когда остаток цифр при делении на 3 не равен нулю возможен, когда k делится на 3. В этом случае число представляется в виде числа из k единиц или из k двоек плюс, число, у которого все цифры делятся на 27. Тогда остаток этого числа при делении на 27 равно k (k делится на 3). Соответственно деля добавок на 3 получаем уравнение $\sum_ix_i+\frac x3 =0(mod \ 9), \ x_i=0,1,2$. В нашем случае это не даёт решения. Однако, для k=6 мы получаем дополнительные решения, когда не все цифры делятся на 3.

[Trius]

Я делал так. понятно что a-b,b-c,a-c делятся на 3. Тогда из того что abc(число) делится на 27, следует что 19a+10b+c делится на 27,а значит и на 3. Тогда с-9b делится на 3. Отсюда 8b делится на 3. Аналогично остальные цифры делятся на 3. А дальше несложно убедится что подходит только 999
или я неправильно делал?)

[[ws]woland]

Веталь (Тrius)!:?: Я тебя не понял насчет предпоследней строчки (А дальше несложно убедится что подходит только 999)???
help-ни pls!

[Trius]

это самая простая строчка)))все цифры числа делятся на 3, тоесть - или 3 или 6 или 9

Добавлено спустя 38 минут 7 секунд:

незваный гость писал(а):

:evil:
Имеем $9 | a + \beta + \gamma$.

откуда? почему из $9 | 3(a+ \beta+\gamma)$ cледует что $9 | (a+ \beta+\gamma)$

[bot]

Я был первым, кто отметился в этой теме, но что-то померещилось и стёр. А теперь то же самое появилось у Rusta и Triusа

Стёртое было такое:

Пусть $a, b, c$ - цифры искомого числа. Тогда имеем систему сравнений, которая получается перестановками букв из одного сравнения:

$-8a+10b+c\equiv 0 (mod \ 27)$.

Видел и это:

Нет нужды выписывать все шесть сравнений, так как $S_6$ порождается двумя транспозициями. Отсюда получаем

$a \equiv b \equiv c \equiv 0 (mod \ 3)$

А теперь можно так:
Подставив $a=3x+r, b=3y+r, c=3z+r$ в сравнение по модулю 27 и сократив его на 3, получим

$x+y+z+r \equiv 0 (mod \ 9)$

Так как $0\le x, y, z \le 3, \ 0\le r \le 2$ и $x+y+z+r > 0$, то

$0<x+y+z+r \le 11$, откуда

$x+y+z+r = 9$

Откуда из-за ограничений очевидна единственность решения.

[Батороев]

bot писал(а):

$a \equiv b \equiv c \equiv 0 (mod \ 3)$

Мне кажется, что к указанному сравнению достаточно добавить:

$ (a+b+c+ ...) \equiv 0(mod \ 27)$,
т.е. сумма цифр числа должна быть кратна 27.
Этому условию из 3-хзначных чисел удовлетворяет только 999.

Не настаиваю на своем мнении, т.к. для этого необходимо проверить и 4-х, и 5-ти, и т.д. -значные числа.

[bot]

Батороев писал(а):

... т.е. сумма цифр числа должна быть кратна 27.

Если это можно добавить. то всё остальное можно выбросить.
Все нужные сравнения и ограничения в тексте есть - читайте внимательнее.

[Батороев]

bot писал(а):

Все нужные сравнения и ограничения в тексте есть - читайте внимательнее.

Если все нужные сравнения и ограничения уже были в сообщениях, тогда прошу извинить, что не заметил
Приведу свой вариант:
Если трехзначное число представить в виде:

$ a*100 + b*10 + c $

$ a*(99+1) + b*(9+1) + c $

$ (a*99 + b*9) + (a + b + c) $

Первая скобка при a и b, кратных 3, делится на 27, следовательно, необходимо, чтобы и вторая скобка была кратна 27 (и как следствие - с также должно быть кратно 3).
Аналогично, можно рассмотреть числа любой «значности».

[bot]

Батороев писал(а):

Если все нужные сравнения и ограничения уже были в сообщениях ...

Собственно я их все собрал в своём сообщении.

Цитата:

... Первая скобка при a и b, кратных 3, ...

А откуда мы это знаем?

Добавлено спустя 8 минут 56 секунд:

Хотя да - остаются ещё два случая: $a\equiv_3 b \equiv_3 k=1,2$, но тогда к левой части добавляется слагаемое $99k+9k=108k$, делящееся на 27.
Действительно короче.

[Батороев]

bot писал(а):

А откуда мы это знаем?

Теперь Вы, уважаемый г-н Bot, не совсем внимательны.
В первом сообщении я к Вашему сравнению приплюсовал второе и эти два сравнения (вместе с числом 999) и являются ответом на задачу (а ля Bat-a-Bot )

Хочу добавить к вышеcказанному, что подобным образом можно показать для любой системы счисления (СС):
Например, в n-чной СС имеем k-значноечисло
$ a*(n^k) + ... + b*(n^2) + c $

$ a*(n^k-1+1) + ... + b*(n^2-1+1) + c $

$ [a*(n^k-1) + ... + b*(n^2-1)] + (a + ...+b + c ) $

Т.е. сумма цифр числа в n-чной СС показывает, делится ли на (n-1) само число (аналогично тому, как определяется делимость на 9 в 10-чной СС).

Этот факт не очень интересен в том плане, что мы имеем возможность наблюдать его только в СС, не превышающих 10-чную.

Но можно было бы и наблюдать далее, если согласиться со следующими тезисами:
1. В математике, изучая остатки от деления по основанию n, тем самым изучаются окончания чисел в n-чной СС.
2. Если окончание числа в различных СС можно выразить в виде числа, записанного в 10-чной форме, то можно выразить таким же образом и другие разряды и число в целом.

Например, имеем число 23657. Если записать это число предложенным способом, допустим 18-чной СС, то получим:

23647 = (4 0 17 13)_18

$ 4+0+17+13 = 34 $

Т. к. 34 делится на 17, то и само число делится на 17.

[Trius]

вот только мое решение неправильное(

[bot]

Два решающих момента были правильно выделены до того, как несколько преждевременно (хотя в конечном счёте тоже правильно) было сказано

Цитата:

Тогда с-9b делится на 3.

Добавлено спустя 9 минут 50 секунд:

2Батороев. Не понял, если Вы этим хотите сказать, что признаком делимости на n-1 в СС с основанием n будет делимость на n-1 суммы цифр этого числа, то не удивили.