Теорема о среднем для голоморфных функций

[Manul]

Доброго времени суток. Столкнулся с проблемой в понимании теоремы о среднем для голоморфных функций и применения её на практике.
Теорема: Если функция $f(z)$ голоморфна в круге $\lbrace{|z - z_0|}< R\rbrace$, тогда для каждого $(0 < r < R)$ выполнено:

$$f(z_0) = {1 \over 2\pi}\int\limits_0^{2\pi}f(z_0+re^{i\varphi})\,d\varphi$$

Сначала все кажется нормальным, но вот что выходит на практике.
Имеется функция: $f(z)=\sum\limits_{i=1}^n {\frac{A_i}{z-B_i}}$, где $A_i, B_i \in \mathbb Z$, понятно, что данная функция мероморфна на всей своей области определения.
Допустим, надо посчитать значение в точке $z_0 \ne B_i, i \in \mathbb N$, тогда по теореме о среднем это будет вышеприведенный интеграл. Но мы можем выбирать радиусы $r$ и $R$ абсолютно произвольным образом, так, чтобы функция была аналитичной на них, то есть чтобы ни одна точка $B_i$ не входила в данную область. В итоге будет получаться разные значения интеграла, а следовательно и функции, а этого быть не может.
Объясните, пожалуйста, где ошибка в рассуждениях выше?

[ewert]

Manul в сообщении #526174 писал(а):

В итоге будет получаться разные значения интеграла, а следовательно и функции, а этого быть не может.
Объясните, пожалуйста, где ошибка в рассуждениях выше?

В том, что "будет получаться разные значения интеграла". С какой стати (не говоря уж об орфографии) разные-то? Раз уж внутри каждого такого контура функция аналитична.

[Manul]

Не могли бы Вы объяснить, почему этот факт очевиден? Да, есть теорема Коши, но она вроде бы и о другом...
P.S. Прошу прощения за орфографию, не знаю, как так вышло

[ewert]

Manul в сообщении #526190 писал(а):

Да, есть теорема Коши, но она вроде бы и о другом...

Ровно об этом. И ровно на ней строится теорема о среднем (достаточно добавить к теореме Коши попросту непрерывность аналитической функции в окрестности центра).

("ровно" -- в том смысле, что из неё есть стандартное и вполне очевидное следствие, и у вас оно обязано было к этому моменту очень давно уже быть, и Вы обязаны его знать: интеграл по замкнутому контуру не меняется при непрерывной деформации этого контура -- до тех пор, пока контур не пересекает точек неаналитичности)

[Manul]

Спасибо, понял.

ewert в сообщении #526224 писал(а):

у вас оно обязано было к этому моменту очень давно уже быть, и Вы обязаны его знать

Боюсь, что "обязан" слишком громкое слово, ибо ТФКП я учу сам по учебнику Титчмарша, собственно, никакого следствия, говорящего то, что написали Вы, там не было.

В любом случае, огромное спасибо.