Сравнить числа

[Larry]

Вот задали в 11 классе задачку, она простая, а решить уже неделю не могу, помогите. Даны числа, их нужно сравнить, не считая их:
$\sqrt{\ 9651*6519*5196}$ и $575757$

[photon]

А с какой радости знак равенства?

Первое, что я бы сделал, это обе части на 3 поделил - числа поменьше все-таки будут

[Larry]

photon, нам надо как-то через сумму представить, или через произведение, не знаю даже. трудновато...

[photon]

Цитата:

$\sqrt{\ 9651*6519*5196}$ и $575757$

=>
$3\cdot2\sqrt{3217\cdot41\cdot53\cdot3\cdot433}$ и $3\cdot3\cdot7\cdot13\cdot19\cdot37$

[Larry]

photon, во первых надо не считая сравнить, во вторых я последнего поста не понимаю.

[photon]

Я разложил на простые множители и вынес, что было можно, из под корня.... А совсем не считая ничего - так нельзя, не считая произведения и корни в лоб - да.

Видимо дальше надо так чуть-чуть изменить числа под корнем в большую сторону, чтобы получить полные квадраты и показать, что при этом увеличении мы не получим числа, превосходящего числа в правой части.

[незваный гость]

Каждое из чисел под радикалом делится на три и не делится на девять. Значит, левая часть — число нецелое, и правой части равно быть не может.

Вариация на ту же тему: под корнем четное число. Значит, л.ч. либо четная, либо нецелая. В любом случае правой части равна быть не может.

[juna]

$575757=10101\cdot 57$
Предполагаем
$9651\cdot 6519\cdot 5196 < 10101\cdot 10101 \cdot 57 \cdot 57$
$57\cdot 57=3249$, тогда
$\frac{9651}{10101}\cdot \frac{6519}{10101}\cdot\frac{5196}{3249}<1$.
Оценим $\frac{9651}{10101}\cdot\frac{6519}{10101}\cdot\frac{5196}{3249}$
$\frac{9651}{10101}=\frac{9600}{10101}+\frac{51}{10101}<\frac{96}{101}+\frac{51}{100}$
$\frac{96}{101}<0.9505$ (посчитали на калькуляторе)
$\frac{9651}{10101}<0.9556$
$\frac{6519}{10101}<\frac{65}{101}+\frac{19}{10100}<0.6436+0.0019=0.6455$ (на калькуляторе посчитали $\frac{65}{101}$).
Посчитали на калькуляторе $\frac{5196}{3249}<1.6$
Итак, $\frac{9651}{10101}\cdot\frac{6519}{10101}\cdot\frac{5196}{3249}<0.9556\cdot 0.6455\cdot 1.6<0.987<1$ - верно.

[bot]

Ну на калькуряторе всяк могёт. А вспомним-ка:

photon писал(а):

А с какой радости знак равенства?

С него и понеслось.
А теперь:

незваный гость писал(а):

Каждое из чисел под радикалом делится на три и не делится на девять. Значит, левая часть — число нецелое, и правой части равно быть не может.

Так может быть первоначальная постановка с равенством и была верной? То есть надо было только сказать равны они или нет?

А с определением кто кого больше, даже после сокращения на 3 слишком грубыми прикидками не обойдёшься. Сам немало таких задач составлял.

[juna]

65, 96 на 101 поделить я и в столбик могу с четырьмя знаками (а напрячься, и в уме).
5196 на 3249 уже сложнее, но тоже могу оценить в 1.6.
Числа очень близкие, как-то перегруппировать множители в очевидное неравенство, как-то использовать факт, что в левой части каждое число - перестановка цифр, вроде не получается.
Отсюда, очевидная немее грубая оценка.