Перпендикулярность прямой и плоскости в пространстве

[Keter]

Определение: Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости.

Признак: Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Где можно найти наиболее короткое и лёгкое доказательство признака?

Сам пока слишком длинное придумал, аж на страницу, а нужно что-то простое.

[svv]

А что такое "одна прямая (перпендикуляр) перпендикулярна другой прямой (той, что в плоскости)"?

Пояснения прошу для не совсем очевидного случая, когда они не пересекаются (как отвес, касающийся пола в центре комнаты, и плинтус). Когда они пересекаются, всё ясно: берем угол и измеряем.

[Keter]

Две прямые в пространстве перпендикулярны друг другу, если они соответственно параллельны некоторым двум другим прямым, лежащим в одной плоскости и перпендикулярным в ней.

[мат-ламер]

Если один вектор перпендикулярен двум другим, то он перпендикулярен и их линейной комбинации. Следует из свойства скалярного произведения.

[Keter]

мат-ламер в сообщении #525800 писал(а):

Если один вектор перпендикулярен двум другим, то он перпендикулярен и их линейной комбинации. Следует из свойства скалярного произведения.

А по подробнее. Есть где-то написанное доказательство?

[мат-ламер]

Я возможно ерунду написал. Не в том смысле, что неправильно. А в том смысле, что плохо представляю, что сейчас проходят в школе. Но скалярное произведение и его свойства вроде проходят. Не знаю как объяснить. Это я написал на языке векторных пространств. А у нас вроде пространство не векторное (с выделенным нулём), а аффинное (все точки равносильны). Так что я своё замечание снимаю. Извините, что встрял.

[Keter]

Для аффинного не катит да?!

-- 11.01.2012, 19:04 --

Хотя по большому счету мне все равно. У меня ведь просто факт, который нужно доказать, так что векторное пространство вполне подходит

[Nemiroff]

Цитата:

Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Гугл, вторая ссылка по данной цитате. Пойдет?

[Keter]

Nemiroff в сообщении #525824 писал(а):

Цитата:

Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Гугл, вторая ссылка по данной цитате. Пойдет?

Отлично. Спасибо

[Joker_vD]

Вам, собственно, нужно доказать, что если прямая $a$ проходит через точку пересечения двух прямых $p$ и $q$ и перпендикулярна им, то она перпендикулярна любой другой прямой $\ell$, проходящей через эту точку. Про аффинные/векторные пространства забудьте (кстати, мат-ламер, а вы в курсе, что к афинному пространству прикреплено к векторное?)

Ну, так это несложно — проведите прямую, пересекающую прямые $p,q,\ell$ в точках $P,Q,L$ соответсвенно, отметьте на $a$ две точки $A$ и $B$ симметрично плоскости $pq$ и проведите отрезки $AP,AQ,AL,BP,BQ,BL$. Теперь полюбуйтесь на треугольники.

[Keter]

Joker_vD именно это доказательство я посчитал слишком долгим. Нужно было что-то простое. И вот оно:

http://webmath.exponenta.ru/s/c/stereom ... heory.html

[svv]

Я с ложкой дёгтя. Можно?

Там по ссылке написано (я своими словами): если направляющие векторы двух прямых плоскости неколлинеарны, то направляющий вектор любой прямой, лежащей в плоскости, есть их линейная комбинация.

Вот скажите, а так ли это очевидно? Для любой пространственной прямой ведь это неверно. Покажите, что именно когда мы выбираем третью прямую в плоскости, происходит некая чудесная вещь.

Нет ощущения, что в том доказательстве довольно многое неявно подразумевается?

[Keter]

svv в сообщении #525848 писал(а):

Нет ощущения, что в том доказательстве довольно многое неявно подразумевается?

А что Вас так смущает в том, что там написано?

[svv]

Ну вот, про линейную комбинацию.
Хотя чего я? Доволен человек -- и слава Богу.

[Keter]

мне вот не понятно: почему если векторы $b$ и $c$ неколлинеарные, то $d=xb+yc$??