Найти норму

[MASHA67]

Найти норму следующего оператора , действующего из С [0,1] в $l^\infty$ : $Ax=(y_n)$ , $y_n=\int_{0}^{1}x(t)t^ndt$.
Решение : оценка интеграла равна 0,5 отсюда и норма оператора равна 0,5 , но не понятно для каких n это выполняется?

[Dan B-Yallay]

Да хотя бы для $x(t)\equiv 1, \ n=1$

[MASHA67]

Ну а считать для каждого n чему равен интеграл?

[Dan B-Yallay]

А как Вы 0.5 с самого начала получили?

[MASHA67]

Функция x(t) по модулю не превышает 1 , остается только посчитать интеграл $\int_{0}^{1}t^n$ ну вот при n=1 , интеграл равен 0,5 , при n=2 интеграл равен 1\3.

[ewert]

MASHA67 в сообщении #524946 писал(а):

но не понятно для каких n это выполняется?

А это -- бессмысленная постановка вопроса. И определение оператора, кстати, тоже записано вполне бессмысленно. Лучше всего -- всё-таки привести запись в человеческий вид. Тогда, не исключено, и Ваше замечательное решение окажется верным.

(только надо иметь в виду, что и само понятие эль-бесконечности -- тоже не вполне однозначно: это смотря с какого эн начинать суммирование)

[MASHA67]

Я никак не могу понять . Получается n=1 ||A||=$ \frac{1}{2}$ , n=2 ||A||=$ \frac{1}{3}$ , n=3 ||A||=$ \frac{1}{4}$ и т.д. А какое же общее решение?

[ewert]

MASHA67 в сообщении #525628 писал(а):

Получается n=1 ||A||=$ \frac{1}{2}$ , n=2 ||A||=$ \frac{1}{3}$ , n=3 ||A||=$ \frac{1}{4}$ и т.д.

ewert в сообщении #525031 писал(а):

А это -- бессмысленная постановка вопроса.

Норма -- понятие, относящееся (даже не важно пока, в каком конкретном смысле) к объектам на выходе оператора в целом. В Вашем конкретном примере -- к каким-то последовательностям. Именно к последовательностям в целом, а вовсе не к их отдельным членам, как Вы зачем-то пишете.

[MASHA67]

Если рассмотреть данную последовательность , то получается данный ряд расходится!

[ewert]

MASHA67 в сообщении #525944 писал(а):

Если рассмотреть данную последовательность , то получается данный ряд расходится!

Никакой ряд там не дан, и тем более никакой ряд не обязан сходиться.

[MASHA67]

Так как найти норму оператора?

[MaximVD]

MASHA67
Давайте начнём издалека. Во-первых, что такое пространство $l_{\infty}$? Что является элементами этого пространства? Как в этом пространстве определяется норма? И что такое пространство $C[0,1]$, какая в нём норма?
Во-вторых. Пусть есть какой-то оператор $A \colon X \to Y$, где $X$ и $Y$ - нормированные пространства. Что такое норма оператора $A$ и как вообще её можно искать?

Если сможете правильно ответить на эти вопросы - то вы уже на полпути к решению вашей задачи.

[MASHA67]

[Пространство $l^\infty$ - это пространство классов эквивалентности существенно ограниченных функций. Элементом пространства является класс экв. функций. $||f||:=inf_f^~ ~ f x принадлежит X $sup |f^~(x)| . ${C }[0,1]$ - это пространство непрерывных функций на отрезке [0,1] . $d(f,g)= max|f(t)-g(t)| , $ t принадлежит данному отрезку. Норма оператора $||A||={sup||Ax||_y}$ , ||x||_{X}^\le1

[MaximVD]

Пространство классов эквивалентности существенно ограниченных функций - это $L_{\infty}(X, \mathcal{A}, \mu)$, т.е. "эль-большое бесконечность", но никак не $l^{\infty}$ - здесь "эль - маленькое". $l^{\infty}$ - это, обычно, множество ограниченных последовательностей комплексных чисел (либо вещественных) и норма в этом пространстве определяется так: если $x = (x_1, \ldots, x_n, \ldots) \in l^{\infty}$, то $\| x \| = \sup_{n \in \mathbb{N}} | x_n |$.
Теперь возьмите произвольную функцию $x \in C[0,1]$ и запишите чему равна $\| Ax \|_{l^{\infty}}$.

Про норму оператора: Допустим оператор $A$ какой-нибудь сложный и не получается у нас вычислить $\| A \|$ по той формуле, которую вы написали. Что тогда делать? Можно ли норму как-нибудь по-другому посчитать?

Замечание: формулы надо всегда окружать знаками "$", тогда они будут более читаемыми.

[MASHA67]

MASHA67 в сообщении #524946 писал(а):

Найти норму следующего оператора , действующего из С [0,1] в $l^\infty$ : $Ax=(y_n)$ , $y_n=\int_{0}^{1}x(t)t^ndt$.

В данной задачи нужно оценить $y_n=\int_{0}^{1}x(t)t^ndt$ слева и справа , получится , что остается посчитать интеграл $||y_n||=\int_{0}^{1}t^ndt$ , так как x(t) по модулю не превышает 1 . Но у меня встает вопрос как правильно работать с n? Для n=1 , $y_1=\frac{1}{2}$ , n=2 $y_2=\frac{1}{3}$ , и т.д. получается последовательность обыкновенных дробей! Как правильно получить оценку для ||A||?