Тригонометрия 10 класс

[Praded]

Так же, как и первый. Найти $\cos^2x$, найти $\sin^2x$, найти 4 и 8 степень синуса и косинуса, сложить. В чём сложности?

[spaits]

Просто это решение намного длиннее, согласитесь.

[svv]

spaits, Praded, а как вам такой способ:

$\cos2x=\dfrac 5 {13}$

$\begin{tabular}{lll} \sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}{2}=\dfrac{1-5/13}{2}=\dfrac 4 {13} & \sin^4x=\dfrac{16} {169} & \sin^8x=\dfrac{256} {28561} \\ {} & {} & {} \\ \cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}{2}=\dfrac{1+5/13}{2}=\dfrac 9 {13} & \cos^4x=\dfrac{81} {169} & \cos^8x=\dfrac{6561} {28561} \end{tabular}$

$\sin^4x+\cos^4x=\dfrac{16} {169}+\dfrac{81} {169}=\dfrac{97} {169}$

$\sin^8x+\cos^8x=\dfrac{256} {28561}+\dfrac{6561} {28561}=\dfrac{6817} {28561}$

Не правда ли, в нём есть какое-то первозданное очарование...

[Praded]

А разве это не мой способ, только я $\sin^2x$ предлагал найти через основное тригонометрическое тождество?

[svv]

Хм...хм...гм.
А Вы зато численно не нашли!

[Praded]

Сложение и умножение в начальной школе проходят.

[spaits]

svv в сообщении #525360 писал(а):

spaits, Praded, а как вам такой способ:

$\cos2x=\dfrac 5 {13}$

$\begin{tabular}{lll} \sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}{2}=\dfrac{1-5/13}{2}=\dfrac 4 {13} & \sin^4x=\dfrac{16} {169} & \sin^8x=\dfrac{256} {28561} \\ {} & {} & {} \\ \cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}{2}=\dfrac{1+5/13}{2}=\dfrac 9 {13} & \cos^4x=\dfrac{81} {169} & \cos^8x=\dfrac{6561} {28561} \end{tabular}$

$\sin^4x+\cos^4x=\dfrac{16} {169}+\dfrac{81} {169}=\dfrac{97} {169}$

$\sin^8x+\cos^8x=\dfrac{256} {28561}+\dfrac{6561} {28561}=\dfrac{6817} {28561}$

Не правда ли, в нём есть какое-то первозданное очарование...

Всё верно, но я предложу решение в общем виде.
$\sin^4{x}+\cos^4{x}=\frac{1}{2}(1+\cos^2{2x})$. Выкладки я привела выше, вначале выделяется полный квадрат.

$$\sin^8{x}+\cos^8{x}=(\sin^4{x}+\cos^4{x})^2-2\sin^4{x}\cos^4{x}= \frac{1}{4}(1+\cos^2{2x})^2 -\frac{1}{8}\sin^4{2x}= $$

$$\frac{1}{4}(1+2\cos^2{2x}+\cos^4{2x})-\frac{1}{8}(1-2\cos^2{2x}+\cos^4{2x})=\frac{1}{8}+\frac{3}{4}\cos^2{2x}+\frac{1}{8}\cos^4{2x}=$$

$$\frac{1}{8}+\frac{3}{4}\cdot\frac{25}{169}+\frac{1}{8}\cdot\frac{625}{28561}=\frac{6817}{28561}$$

Ответ совпадает с Вашим, svv.

[Praded]

И вы это решение считаете намного короче?

[spaits]

Praded в сообщении #525504 писал(а):

И вы это решение считаете намного короче?

Решите в общем виде, получите ответ, тогда и сами увидите.

[Praded]

Ну, так найдите в общем виде при тех же условиях $\sin^{10}x+\cos^{10}x$. На всякий случай сообщаю, что ответ будет $\dfrac{4^5+9^5}{13^5}$.

[gris]

Я предлагаю существенно поднять планку обсуждения и найти решение в ещё более общем виде:

$$\sin^{2n}x+\cos^{2m}x=?$$

[bot]

spaits, Praded, $\dfrac{1+\frac{5}{13}}{2}=\frac{9}{13}$ - это пусть посчитано.
Не смешно спорить о том, какие вычисления проще?

1) $\dfrac{1-\frac{5}{13}}{2}=\dfrac{\frac{13-5}{13}}{2}=\frac{4}{13}$ или 2) $\dfrac{1-\frac{5}{13}}{2}=1-\dfrac{1+\frac{5}{13}}{2}=1-\frac{9}{13}=\frac{4}{13}$

Если спросить у пятиклассника, то он пожалуй выберет второе.

[Praded]

(Оффтоп)

Вы не поняли о чём речь. В указанном вами принципиальных расхождений нет. Речь шла о том, что оппонент предполагает для упрощения задачи произвести выделение полного квадрата из суммы.

[bot]

(Оффтоп)

Да, попутал - я принял за инакомыслие то, что было не в сообщении spaits, а цитату svv в этом сообщении. Ну с выделением полного квадрата хлопот будет явно побольше, а с разными чётными степенями по предложению gris - и вовсе труба.

[spaits]

Praded в сообщении #525549 писал(а):

Ну, так найдите в общем виде при тех же условиях $\sin^{10}x+\cos^{10}x$. На всякий случай сообщаю, что ответ будет $\dfrac{4^5+9^5}{13^5}$.

О чем спор? Я решила задачу в общем виде. Данную задачу. Вы даже не попытались. Что сравнивать?