Быстро сходящийся ряд

[Dave]

Найдите сумму ряда $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac 1 {2^{2^n}-2^{-2^n}}$

[Klad33]

Эта сумма равна 1

[arseniiv]

Наверно, все это и так видят. Ряд же быстро сходящийся. А вот доказать сможете?

[Klad33]

Элементарно. Достаточно рассмотреть конечные суммы:

$S_0=\frac{2}{3}$

$S_1=\frac{14}{15}$

$S_2=\frac{254}{255}$

$S_3=\frac{65534}{65535}$

........................................................

Далее я расписал в общем виде и получил, что знаменатель всегда на 1 больше числителя.

Неужели так сложно?

[Dave]

Klad33 в сообщении #525521 писал(а):

Элементарно. Достаточно рассмотреть конечные суммы:

$S_0=\frac{2}{3}$

$S_1=\frac{14}{15}$

$S_2=\frac{254}{255}$

$S_3=\frac{65534}{65535}$

........................................................

Далее я расписал в общем виде и получил, что знаменатель всегда на 1 больше числителя.

Неужели так сложно?

В общем виде расписать было бы проще с самого начала, чем в частном

[arseniiv]

(Оффтоп)

Klad33 в сообщении #525521 писал(а):

Неужели так сложно?

Я эти суммы не рассматривал, было лень смотреть в дроби, и я всё поделил.

[Руст]

Это же телескопическая сумма;

$$\frac{1}{2^{2^n}-2^{-2^n}}=\frac{2^{2^n}}{2^{2^{n+1}}-1}=\frac{2^{2^n}+1}{2^{2^{n+1}}-1}-\frac{1}{2^{2^{n+1}}-1}=\frac{1}{2^{2^n}-1}-\frac{1}{2^{2^{n+1}}-1}.$$