Аппроксимация функции Миттаг-Лефлера

[Alik]

Здравствуйте!
Знает ли кто-нибудь способ аппроксимировать the Mittag-Leffler function
$E_{\frac{1}{2}}( -z^\frac{1}{2})=\sum_{k=0}^{\infty }\frac{\left (-\sqrt{z} \right )^{k}}{\Gamma \left (\frac{k}{2}+1 \right )}=e^z$erfc(\sqrt{z})$
для начала на интервале $0\leqslant z \leqslant 5$.
Если делать это по вышеуказанной формуле, то требуется 30 слагаемых

[arseniiv]

Требуется для определённой точности?

Преемлема ли кусочная аппроксимация? Тогда можно кусками рядов Тейлора для разных точек. Правда, не знаю, насколько это часто используют.

[Alik]

Ряд Тейлора для этой функции очень медленно сходится

[arseniiv]

Например, разложения до $z^8$ включительно с центрами в 0, 2, 5 дают на отрезках, соответственно, $[0; 1]$, $[1; 3]$, $[3; 7]$ относительную погрешность (или как это — $\frac{\left| f - f_\text{approx} \right|}f$ — называется) не больше $0{,}5\cdot 10^{-3}$. Хотя не, какая-то она для большинства приложений, кажется, большая.

Вам же нужна точность намного лучше, наверно?..

-- Ср янв 11, 2012 08:18:20 --

Так что я всё, молчу.

[Alik]

Дело не в совсем в точности, я хочу чтобы приближающая функция была простой (скажем гиперболической) чтобы потом работать с ней дальше. Так в частности, нужно посчитать интеграл от квадрата $E_{\frac{1}{2}}( -z^\frac{1}{2})$. У меня есть подозрение, что эта функция в интегралах ведет себя как экспонента, но подтверждения этому я не нашел.

[profrotter]

Alik в сообщении #525531 писал(а):

$...=e^z$erfc(\sqrt{z})$

Нечто близкое тут: topic41521.html

[sergei1961]

1. Это НЕ функция Миттаг-Лефлера.
2. Раз МАТЕМАТИКА считает её с любой точностью, то методы уже разработаны. В хелпе описаны способы, которыми она считает, обычно.
3. В книге Y.Luke. Math. Funct. and their Approximation, 1975 описаны методы вычисления функции ошибок. В основном это аппроксимации Паде, разложения по многочленам Чебышёва. Приведены неравенства, оценки и анализ ошибок. У Люка есть ещё книги, можно посмотреть что есть там.
4. Так как это по сути неполная гамма-функция, то лучшее пособие по её истории, вычислению и асимптотикам статья The Incomplete Gamma Functions Since Tricomi (1998) Walter Gautschi .
5. Если всё равно что-то нужно ещё-можно общие справочники посмотреть. Из современных-это Аски-Рой и NIST.
Удачи.

[Alik]

Применительно к чему было высказывание

sergei1961 в сообщении #525765 писал(а):

1. Это НЕ функция Миттаг-Лефлера.

если к выражению $e^zerfc(\sqrt{z})$, то Вы, как пользователь Mathematica, просто поленились зайти на сайт
http://mathworld.wolfram.com/Mittag-Lef ... ction.html
Написать чем замечательны книги, которыми Вы когда-то пользовались тоже просто, труднее дать дельный совет...

[sergei1961]

Вы назвали функцией Миттаг-Леффлера функцию в первом посте. По определению функцией Миттаг-Леффлера называется ряд:

$$E_{a,b}(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{k! \Gamma (ak+b)}.$$

Запишите Вашу функцию в этой форме при некоторых параметрах $a,b$, я этого делать не умею.
Кроме того Вы просили указать, где описано вычисление этой функции. По-моему в книге Люка в указанном месте и содержится. Но если Вам это не показалось полезным, не буду больше помогать, зачем через силу. Или я не понял, в чём нужна была помощь.

[Alik]

Если быть точным, в формуле нет $k!$. В книге Y. L. Luke, "Mathematical functions and their approximations" есть Incomplete Gamma Functions, но нет ничего про Mittag-Leffler Function. Помощь нужна в аппроксимации функции с дробным значением параметра, простейший пример $E_{\frac{1}{2}}( -z^\frac{1}{2})$, при относительно небольших значениях аргумента $0<z<10$. Аппроксимирующая функция должна быть как можно более простой, даже если при этом страдает точность. Я искал статьи на эту тему, но ничего стоящего не нашел. Еще один вопрос: чему равен интеграл от функции Миттаг-Лефлера (первообразная)? Мне удалось найти только формулы где пределы интегрирования $[0; \infty]$.

[sergei1961]

Да, что-то с факториалом меня занесло после работы, извините. Но вроде в книге Люка в пункте 4.8. со стр 119 рассматривается функция ошибок, которая выражается через неполную гамма-функцию, и всё про её вычисление, что я сказал. Или опять не так?
Напишите точно, какой Вам нужно вычислить интеграл?

[Alik]

Всё правильно, но из раздела 4.8 Error function на первый взляд не следует какой-либо простой формулы. Можно попробовать взять только первый член в аппроксимации Паде или Чебышёва, но не думаю, что это даст хорошее приближение.

[sergei1961]

Попробуйте для начала так:

$$\exp(z) erfc(\sqrt{z})\approx \frac{1}{\sqrt{\pi}}\cdot\frac{2(1+z)}{\sqrt{z}\left(2z+3\right)}$$

[Alik]

Вот графики, спасибо.
Проблема лишь в том, что значение аппроксимирующей функции $f(0)\neq1$,
да и расхождение при $z<1$ не очень устраивает.

[Alik]

Мне нужно посчитать $\int_{0}^{t}\left [E_{\alpha,1}(\lambda z^\alpha)\right ]^2 dz$ при условии, что $\int_{0}^{t}E_{\alpha,1}(\lambda z^\alpha)dz=tE_{\alpha,1+1}(\lambda t^\alpha)$