Обобщенная теорема Коши

[alex-omsk]

Речь идёт о теореме Коши в следующей формулировке:
Если функция $f(z)$ аналитична в области $D \subset \mathbb C$, ограниченной кусочно-гладкой кривой Жордана $\Gamma$, и непрерывна в $\overline D$, то

$$\displaystyle\int\limits_{\Gamma}f(z)\,dz=0$$

Вот вопрос в том, можно ли это доказать с помощью формулы Стокса, как просто теорему Коши,т.е. там где ф-ия аналитична в области $D$, а интеграл берется по контуру $\gamma$, который лежит целиком в $D$.

[Oleg Zubelevich]

если хочется именно через теорему Стокса, то можно взять внутри $D$ область с границей к которой применима теорема Стокса, а потом деформировать непрерывно эту границу в $\Gamma$. Мы получим обобщение результата, который следует из формулы Стокса, а будет ли это то, что Вы хотите или всетаки слабее -- надо смотреть. Всякую ли кусочно-гладкую жорданову кривую можно получить как непрерывную деформацию гладкаой кривой? Еще надо правильно определить "непрерывную деформацию" чтоб получалось то, что нужно.

[svv]

Я правильно понял, что "фишка" в том, что кривая в область аналитичности не входит, и на кривой (= на границе области) функция только непрерывна?

Тогда не может ли быть неприятностей на изломах? Подумаю над предостерегающим контрпримером.

[Oleg Zubelevich]

откуда я знаю? смотря какие изломы, я только идею высказал

-- Вт янв 10, 2012 21:05:59 --

svv в сообщении #525402 писал(а):

Тогда не может ли быть неприятностей на изломах? Подумаю над предостерегающим контрпримером.

С контрпримером, я думаю Вам будет непросто:) См. Шабат Введение в комплексный анализ том 1 , там имеется обобщение теоремы Коши

[alex-omsk]

svv в сообщении #525402 писал(а):

Я правильно понял, что "фишка" в том, что кривая в область аналитичности не входит, и на кривой (= на границе области) функция только непрерывна?

Да, именно так.

Но судя по всему так просто не получится. У Шабата этой теоремы я не нашел, там есть лишь указание, что в некоторых случаях можно ослабить условие голоморфности в $\overline D$ как раз таки до непрерывности и предагается это доказать для звездной области. Доказтелство в этой формулировке есть у Привалова, ну и в учебнике по которому у нас лекции были: Билутв П.А. Лекии по ТФКП.

Видимо придется изучать что-то из этого.

[Nemiroff]

У нас теорема для регулярной в ограниченной области и непрерывной на замыкании функции доказывался для областей, представимых объединением звездных множеств. Причем для звездной доказывается из равномерной непрерывности, а для неодносвязной просто добавлением разрезов.

[ewert]

alex-omsk в сообщении #525555 писал(а):

там есть лишь указание, что в некоторых случаях можно ослабить условие голоморфности в $\overline D$ как раз таки до непрерывности и предагается это доказать для звездной области.

Там некоторая морока с формальностями. Совершенно очевидно, что теорема верна для всех "разумных" границ (т.е. для всех границ, встречаемых на практике). Но вот формализовать стягивание границ к предельной для вообще всех границ -- это некоторая морока.

Изломы сами по себе тут, конечно, не при чём (и звёздность тоже -- она может оказаться полезной лишь вот как раз для облегчения формальностей). Можно, например, попытаться приблизить каждый гладкий кусочек границы её достаточно малой эпсилон-окрестностью (в смысле границей этой окрестности, конечно). А на стыках заменить на какие-нибудь дуги (не очень важно какие). Этого будет достаточно; правда, я сходу так не могу сказать, почему граница окрестности (достаточно маленькой) будет тоже как минимум "спрямляемой", хотя это вроде как и очевидно.

[ewert]

А вообще спасибо, что напомнили об этой теореме. Мне в следующем семестре вот как раз нечаянно выпало читать курс именно ТФКП (и, не исключено, мне последнему). Так я теперь ещё десять раз подумаю: есть ли смысл включать в курс утверждение подобного рода именно как теорему.