Простота идеала.

[2.5]

Задача: показать, что $\mathbb C[x,y]/ (x^2+y^2-1)$ не имеет делителей нуля.
Я пытался так: отсутствие делителей нуля равносильно простоте идеала. Пусть $a(x,y)b(x,y)=(x^2+y^2-1)c(x,y) $ где $ a,b,c \in \mathbb C[x,y]$. Тогда $a(\cos\varphi,\sin\varphi)b(\cos\varphi,\sin\varphi)=0 $ $\forall \varphi$, а значит хотя бы один из многочленов (пусть это будет $a$) обращается в ноль при бесконечном числе значений $\varphi$. Пусть теперь $a(x,y)=\sum_{n,m}a_{nm}x^{2n} y^{2m}$ (т.е. $a$ содержит лишь четные степени переменных; я пока и с этим случаем не могу разобраться, хотя есть подозрение что к нему можно свести остальные). Тогда многчлен $P(t)=\sum_{n,m}a_{nm}t^{2n}(1-t^2)^m\equiv 0$. И хотелось бы показать, что из этого условия следует что $x^2+y^2-1 | a(x,y)$. Не удается.

[apriv]

Хорошо известно, что кольцо $\mathbb C[x,y]$ факториально.

[2.5]

apriv
т.е. надо лишь проверить неприводимость, что в данном случае существенно проще. Спасибо.