Задача по теории вероятности.Помогите решить.Плиз

[dodoshka]

Где-то в Африке есть племя туземцев,их количество 2n(n мужчин и n женщин).Эти туземцы живут парами -муж и жена.Племя стоит на левом берегу реки и ему необходимо переправится на правый,при этом должно соблюдаться условие,что на левом берегу количество мужчин должно быть всегда больше или равно количеству женщин.(переходить через реку можно строго по одному человеку).Определить вероятность того,что при переправе через реку муж будет переправляться только после своей жены.(необязателен такой вариант :перешла жена,а сразу за ней ее муж,между ними может оказаться некоторое количество человек,главное,чтоб жена оказалась на правом берегу,раньше своего мужа).

P.S.необходимо развернутое решение с пояснениями.
Заранее ОГРОМНОЕ спасибо.

[PAV]

Сразу замечу, что вряд ли здесь Вам преподнесут на блюдечке готовое решение да еще и с пояснениями.
Это не в традициях и не по правилам форума.

Условие задачи написано довольно смутно. Можете написать подробнее, а заодно и добавить какие-то свои соображения по решению?

[dodoshka]

Смутно?Что вы имеете в виду?Там,вроде,все четко и подробно.
А что касается соображений,я попробовала начать с метода перебора.
Для одной пары вероятность,что пройдет сначала жена,а потом муж,равна 1,т.к. по условию задачи,на левом берегу мужчин должно быть больше или равно кол-ву женщин,значит,в этом случае(как и во всех других)переправу должна начать женщина.Количество успехов и есть количество элементарных исходов.
Для двух пар(опять же,переправу начинает жена,в этом случае уже любая из двух,для определенности пусть это будет х1,за ней может пройти либо ее муж у1,либо другая жена х2.
Если прошел у1,то за ним может пройти только жена из второй пары х2,за которой пройдет у2.
Если прошла жена из второй пары х2,то за ней может пройти либо муж из первой пары у1 либо муж из второй пары у2.
Если прошел у1,то за ним пройдёт у2.
Если прошел у2,за ним пройдет у1.
Тогда общее количество способов прохождения через реку,с учетом того,что я могу выбрать кто начинает переходить первым,либо х1,либо х2.У меня получилось количество способов переправить две пары(кол-во успехов,а не элементарных исходов)288,хотя,чувствую,что тут что-то не так.
На этом я пока остановилась.

[PAV]

Понимаете, данная задача дает один из (новых для меня) примеров, когда в зависимости от того, как именно мы зададим распределение вероятностей, может получиться разный ответ. Смотрите. Рассматриваем случай $n=2$.

Первый способ. В каждый момент будем выбирать случайно и равновероятно, кого из оставшихся на левом берегу туземцев переправить. Причем если в этот момент имеется поровну мужчин и женщин, то по условию выбираем случайно одну из женщин, а если мужчин больше - тогда случайно выбираем туземца любого пола. Первой идут одна из двух женщин. Следующим шагом мы можем выбрать любого из трех оставшихся. Если мы выберем вторую женщину или мужа той, которая уже переправилась, тогда при любом последующем раскладе переправа пройдет правильно. А вот если мы на втором шаге переправим мужа другой женщины, тогда переправа будет неправильной. Таким образом, в этом случае получается, что вероятность правильной переправы равна $\frac 23$.

Второй способ. Сначала выписываем все допустимые перестановки, состоящие из $n$ букв $\text{М}$ и $n$ букв $\text{Ж}$. Из них случайным образом выбираем ту, в соответствии с которой будем переправлять племя. А уже затем начинаем переправу, причем на каждом шаге случайным образом будем выбирать того, кого переправлять, только с учетом, что мы уже знаем, мужчина это или женщина. Или иными словами мы берем две случайные перестановки индексов $(1,2,\ldots,n)$ и приписываем их соответственно буквам $\text{М}$ и $\text{Ж}$, получая полный план переправы. (Этот способ соответствует случайному выбору из всех возможных допустимых планов переправы).
В случае $n=2$ допустимых перестановок будет две: $\text{ЖЖММ}$ и $\text{ЖМЖМ}$. Причем в случае первой переправа всегда будет правильной, а в случае выбора второй - вероятность правильной переправы будет равна $\frac12$. Отсюда, по формуле полной вероятности, переправа будет правильной с вероятностью $\frac12\cdot1+\frac12\cdot\frac12=\frac34$.

Таким образом, необходимо точно описать, каким образом в задаче задаются вероятности способов переправы. Однако и в этом случае мне не очень верится в то, что задачу получится легко решить для произвольного $n$.

Откуда взялась задача?

[dodoshka]

Решение задачи должно быть по первому способу.
Так получается,для одной пары,вероятность 1,для двух пар 2/3, для трех пар 3/4,для четырех пар 5/6 и так далее...Но я это перебором высчитала,а мне надо "нормально" решить.
Дело в том,что я вчера сдавала экзамен по теории вероятностей,сдала на отлично.А препод,который у меня принимал семинарист моего хорошего друга,которому он наотрез отказался ставить зачет.Вот мы и заключили договор,если решу,поставят другу зачет,иначе не поставит(((
А препод собирает коллекцию из решенных задач такого уровня сложности.
Он советовал начать с перебора,а потом"угадать" формулу,такое решение его тоже устроило бы.
Так что я вот сижу и решаю...теперь забить нельзя,судьба друга в моих руках)

[PAV]

Странно это как-то. Я попробовал посчитать для трех пар используя первый способ задания вероятностей, который для двух пар давал ответ 2/3. Вычисления получились сложными и в итоге получился какой-то совсем некрасивый ответ $\frac{11}{30}$. Может быть, я конечно где-то наврал.

Вы осознали то, что я писал, насчет разных способов задания? Вы точно их не путаете, считая одни случаи по одному, а другие по-другому?

Вообще подход к решению может быть таким. В каждый момент времени на левом берегу реки остается $k$ полных пар и $m$ мужей, чьи жены уже переправились. Обозначьте через $p(k,m)$ вероятность того, что эта группа будет переправлена правильно. Данная величина легко выражается рекуррентно через предыдущие. Можете записать некоторое количество первых элементов в виде таблицы, что-то типа треугольника Паскаля. Если получится угадать общий вид - задача будет решена.

[dodoshka]

Хм...Я теперь даже в своих записях на черновике путаюсь,для одной пары 1,для двух,3/4,для трех 5/6...
Голова кругом.Ща попробую второй предложенный способ задания вероятностей,а то что-то я совсем запуталась...

[PAV]

Второй мне кажется более сложным для расчетов. Рекомендую попробовать так, как я посоветовал, через рекуррентное задание.

[Shadow]

PAV Вы направильно сочли перестановки $\text{ ЖЖММ и ЖМЖМ }$ равновероятными (при двух пар). Выбор есть толко при втором разряде. При первом, третьем и четвертом выбора нет. Так что вероятность $\text{ЖЖММ }\frac{1}{3}, \text{ ЖМЖМ } \frac{2}{3}$ И вероятность успеха
$\frac{1}{3}.1+\frac{2}{3}.\frac{1}{2}=\frac{2}{3}$
что совпадает с первым вариантом

[PAV]

Shadow в сообщении #524965 писал(а):

PAV Вы направильно сочли перестановки $\text{ ЖЖММ и ЖМЖМ }$ равновероятными (при двух пар)

Я не счел их равновероятными, я определил их равновероятными. Поскольку в исходной постановке задачи способ задания вероятностей не был определен никак, то я его формализовал таким вот способом. Как пример. Можно и другим способом задать.

Однако же каждая возможная перестановка без индексов порождает одинаковое количество (а именно $(n!)^2$) перестановок с индексами, которые задают полностью схему переправы племени. Если считать каждую возможную такую схему равновероятной (что вполне естественно), то и перестановки без индексов оказываются все-таки равновероятными.