Уравнение с параметром

[Keter]

Найти все положительные значения параметра $a$ при которых уравнение $\frac{4x-1}{x-a}-(a-1) \sqrt {\frac{4x-1}{x-a}} = a$ не имеет решений.

-- 09.01.2012, 00:58 --

Очевидна замена: $t^2-(a-1)t -a = 0$

-- 09.01.2012, 01:03 --

$D = (a-1)^2+4a = a^2-2a+1+4a = a^2+2a+1 = (a+1)^2$

-- 09.01.2012, 01:08 --

$t_1 = a; t_2 = -1$

-- 09.01.2012, 01:19 --

$a^2 = \frac{4x-1}{x-a}$
$a^2(x-a) = 4x-1$
$a^2x-a^3-4x+1 = 0$
$a^3-1 = x(a^2-4)$

$x = \frac{(a-1)(a^2+a+1)}{(a-2)(a+2)}$


$-1 \ne \sqrt {\frac{4x-1}{x-a}}$

-- 09.01.2012, 01:23 --

$x = \frac{(a-1)(a^2+a+1)}{(a-2)(a+2)}$ - нет решений при $a = 2, a>0$

$\frac{4x-1}{x-a} = \frac{4(x-1/4)}{x-a}$ при $a = 1/4$ имеем
$4-(1/4-1)2 = 1/4$
$4+3/2 = 1/4$
$3,75 \ne -1,5$

То есть данное уравнение не имеет решений при $a = 2; a = 1/4$

-- 09.01.2012, 01:55 --

Проверите?

[bot]

Кроме $a=2$ и $a=\frac14$ будут ещё все отрицательные $a$. Их надо было сразу включить в ответ, ибо в этом случае оба корня $t_1=a$ и $t_2=-1$ отрицательны, а $t=\sqrt{\ldots }\geqslant 0$.

-- Пн янв 09, 2012 10:12:39 --

Упс, эта подлянка исключена условием

Keter в сообщении #524767 писал(а):

Найти все положительные значения параметра

Тогда верно.

[Keter]

Ок. Будем считать, что всё верно.

[bot]

Верен ответ, а достижение его занудно и малопонятно.

[Keter]

А как его упростить для понимания? Есть идеи?

[bot]

Да всё банально - надо просто во-время делать выводы. При положительном $a$ надо узнать, разрешимо или нет уравнение $\frac{4x-1}{x-a}=a^2$. Если $a=\frac14$, то левая часть при любом $x\ne a$ равна 4 и не совпадает с $a^2=\frac1{16}$. Если же $a\ne\frac14$, то домножением на $x-a$ и перегруппировкой из уравнения получаем уравнение $(a^2-4)x=a^3-1$ (оно у Вас было), которое разрешимо при $a\ne 2$ и только в этом случае при положительных $a$.

[blondinka.ua]

Можно все еще банальнее и понятнее: написать, что найденное х как функция а не равно а (ОДЗ: х не равно а из-за наличия знаменателя в условии), откуда и находим, что а не равно 0.25.

[bot]

blondinka.ua в сообщении #524811 писал(а):

Можно все еще банальнее и понятнее

Можно и так, тогда после вычислений в знаменателе появится $4a-1$, но я счёл за благо эти вычисления не производить, так как, во-первых, и без вычислений можно, а во-вторых, ленив потому что.