Теория вероятностей, оценка максимального правдоподобия.

[dallone]

Доброй ночи, уважаемое сообщество.
Было дано 4-е задачи по Теории вероятности. Из них три решил без особых проблем, а вот с 4-й возникли проблемы.
Текст задания:
-----
Пусть 001101100 – выборка из совокупности с теоретическим распределением Бернулли: P(X = 1) = 1 - P(X = 0) = p. Построить оценку максимального правдоподобия для параметрической функции $p^2$ . Найти ее смещение.
-----

Я прочитал на Википедии про теоретическое распределение Бернулли. Из какого-то учебника узнал, что точечная оценка максимального правдоподобия неизвестной величины $p=\theta$; $\theta_n = n_x/n$ ($n_x$ — число успехов. n — число независимых испытаний Бернулли).
Т.е. я правильно понимаю, что для моего случая это будет: 4/9 ? В учебнике также сказано, что "эта оценка несмещенная и эффективная".
Но в задании же сказано, что нужно построить оценку максимального правдоподобия для какой-то параметрической функции $p^2$.
Я узнал что для распределения Бернулли есть функции: вероятности, распределения, производящая функция моментов и характеристическая. Но Google ничего не выдал про параметрические функции. А без этого я никак не могу понять, что же мне требуется посчитать.

Буду признателен за любые ссылки на теорию, которая поможет мне решить эту задачу.
Спасибо тем кто прочел, и заранее спасибо за ответ.
С уважением, Алексей.

[PAV]

Пожалуйста, оформляйте все формулы по правилам форума, в том числе и те, которые не содержат степеней и индексов.

Прежде всего напишите функцию правдоподобия, то есть считая $p$ неизвестным параметром напишите вероятность получить именно ту выборку, которая Вам дана, как функцию от $p$.

[dallone]

PAV, спасибо большое за ответ.
Я правильно понимаю, что с учетом того что $P(X=1)=1- P(X=0)=p$ и по аналогии с бросанием монеты, получается что для моей выборки 001101100 функция правдоподобия будет: $f_{pravd}=(1-p)(1-p)pp(1-p)pp(1-p)(1-p)=p^4(1-p)^5$?


p.s. Замечание по правилам оформления принял к сведению, но редактирование предыдущих сообщений похоже запрещено, так что поправить ошибку в оформлении первого сообщения не получилось.

[PAV]

Правильно. Теперь нужно найти значение параметра $p$, при котором данная вероятность будет максимальной. В этом и заключается суть метода максимального правдоподобия.

[dallone]

PAV, прошу прощения за тупость, но максимальная вероятность, насколько я помню, это 1. Получается мне нужно найти значение моей функции для единицы?
Т.о. у меня $p^4(1-p)^5=1$ причем $0\le p \le1$.
Но ведь, насколько я понимаю, уравнение с такими параметрами не имеет решения.
А максимум(причем крайне незначительный, что-то в районе 0.002) будет как раз в точке 4/9.
Единицу же эта функция проходит при отрицательном $p$. А $p$ отрицательной быть ну никак не может.
Получается, что ответ 4/9? А причем тогда параметрическая функция $p^2$ и её смещение?

[Trius]

dallone в сообщении #524599 писал(а):

Получается, что ответ 4/9? А причем тогда параметрическая функция $p^2$ и её смещение?

Да, это оценка для параметра $p$ по методу максимального правдоподобия, но Вам нужна оценка для $p^2$, так что надо воспользоваться инвариантностью оценок максимального правдоподобия. А что это такое - поищите сами.

[dallone]

Trius, спасибо за ответ. Я похоже в последние пару дней глупее чем обычно. Т.е. $p^2$ это не какая-то загадочная функция для выборок с распределением Бернулли, а просто $pp$?

Тогда получается, что оценка максимального правдоподобия для ${p^2}_{ocenk} = \frac{4^2}{9^2}$.
Для того что бы найти ее смещение, согласно Википедии, нужно посчитать математическое ожидание и разница между полученной мной оценкой и мат. ожиданием будет равна смещению, верно?

[--mS--]

dallone в сообщении #524727 писал(а):

Для того что бы найти ее смещение, согласно Википедии, нужно посчитать математическое ожидание и разница между полученной мной оценкой и мат. ожиданием будет равна смещению, верно?

Нет, смещение - это разница между математическим ожиданием оценки и оцениваемым параметром (в данном случае $p^2$).

[dallone]

--mS--, спасибо.