Точная четвёртая степень

[Edward_Tur]

Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что $a^3+b^3$ делится на $a^2+ab+b^2$, а число $a-b$ - простое. Доказать, что $a^3-b^3$ - точная четвёртая степень.

СПБ МО 2004

[Edward_Tur]

Из первого условия получаем: $2b^3=(a^3+b^3)-(a^3-b^3)=c(a^2+ab+b^2)$, где $c$ - натуральное число.
Из второго условия следует, что либо $(a,b)=1$ либо $(a,b)=p$, где $p$ - простое число.
Если $(a,b)=1$, то $c=c_1b$, где $c_1$ - натуральное число и $2b^2=c_1(a^2+ab+b^2)$. Отсюда $c_1=c_2b$, где $c_2$ - натуральное число и $2b=c_2(a^2+ab+b^2)>2b$ - противоречие.
Если $(a,b)=p$, то $a=(d+1)p$ и $b=dp$, где $d$ - натуральное число. Отсюда $2d^3p=c((d+1)^3-d^3)$. Поскольку $(2d^3,(d+1)^3-d^3)=1$ и $(d+1)^3-d^3>1$, то $(d+1)^3-d^3=p$. Значит $a^3-b^3=p^4$.

-- Вс янв 08, 2012 14:54:00 --

Различные натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что $a^3+b^3+ab$ делится на $ab(a-b)$. Доказать, что $ab$ - точный куб.

Украинская заочная олимпиада 2009

[nnosipov]

Edward_Tur в сообщении #524295 писал(а):

СПБ МО 2005

2004, отбор, 10 и 11 классы.

-- Вс янв 08, 2012 19:50:42 --

Edward_Tur в сообщении #524539 писал(а):

Различные натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что $a^3+b^3+ab$ делится на $ab(a-b)$. Доказать, что $ab$ - точный куб.

Здесь также помогает стандартный приём --- переход от пары $a$, $b$ к паре $a_1=a/d$, $b_1=b/d$, где $d=\gcd{(a,b)}$.