Предел функции

[Omega]

Здравствуйте. $f(x)=2^{x} sin(2^{-x})$.Необходимо доказать, что $\lim_{x\to\infty} (2^{x} sin(2^{-x}))=1$ проверьте пожалуйста.
$\lim_{x\to\infty} (2^{x} sin(2^{-x}))=\frac {lim_{x\to\infty} (sin(2^{-x}))}{lim_{x\to\infty} (2^{-x} )}=\frac {0}{0}$,
пришли к неопределённости вида 0/0.Воспользуемся таблицой эквивалентных бесконечно малых: $sin(2^{-x})\to0$
поэтому при $x\to\infty}$ $sin(2^{-x}) \Leftrightarrow 2^{-x}$,преобразуем выражение,чтобы применить правило Лопиталя: $\frac {lim_{x\to\infty} (sin(2^{-x}))}{lim_{x\to\infty} (2^{-x} )}=\frac{(2^{-x})'}{(2^{-x})'}=1$.
$\lim_{x\to\infty} (2^{x} sin(2^{-x}))$-левосторонний предел,так как при подстановке $x=0,1,2…$ получаем,что $2^{x} sin(2^{-x})$ возрастает на промежутке от 0 до $\infty$ следовательно данная функция стремится к единице "слева",поэтому $2^{x} sin(2^{-x})$ всегда меньше 1.
Всё ли здесь верно?

[SpBTimes]

Omega в сообщении #524474 писал(а):

Воспользуемся таблицой эквивалентных бесконечно малых: $sin(2^{-x})\to0$
поэтому при $x\to\infty}$ $sin(2^{-x}) \Leftrightarrow 2^{-x}$

ну вот это неверно. $\lim\limits_{x \to \pi} \sin(x) = 0$, однако эквивалентная функция вовсе не $x$

И вообще, зачем здесь Лопиталь и что-то ещё? Достаточно правильно указать, почему $\sin(2^{-x}) ~ 2^{-x}$, а потом вспомнить, что $a^b \cdot a^c = a^{b + c}$

[Omega]

SpBTimes
Вопрос-то в том, верно ли равенство предела данной функции единице?

[SpBTimes]

Предел данной функции при $x \to + \infty$ действительно равен 1

[Omega]

Спасибо. Тема зактрыта.

[Klad33]

Очень красивая функция, достойная опубликования: