Доказать (точки на осях с простыми координатами, на сфере..)

[Keter]

Доказать, что в трёхмерном пространстве по осям x, y, z всегда можно взять три точки, координаты которых простые числа, так, что эти точки будут принадлежать поверхности сферы.

Подскажите с чего начать, потому как первый раз сталкиваюсь с таким заданием и не имею представлений о доказательствах такого типа задач.

Честно, я немного удивлён поставленной задачей

[Legioner93]

Я тоже удивлён. Точки (2,0,0), (0,2,0), (0,0,2) подойдут?

[svv]

И не сказано, что центр сферы в $(0,0,0)$. Берите по каждой оси любое простое число, для каждого варианта получите бесчисленное множество сфер.

[Keter]

Всё это я понимаю. Но вот как это доказать?! Я же не могу взять там на оси x простое число 17, а остальные два числа на оси y и z подобрать. svv Вы сказали что таких сфер (ну поверхности которых принадлежат три простых числа) бесконечно много, думаю - да. Как же связать всё это в кучу и вывести может какую-то формулу радиуса таких сфер... Буду думать.

-- 08.01.2012, 02:38 --

Legioner93 в сообщении #524399 писал(а):

Я тоже удивлён. Точки (2,0,0), (0,2,0), (0,0,2) подойдут?

Вполне.

-- 08.01.2012, 02:44 --

Наткнулся на интересную статью "Парадокс Банаха — Тарского" - Шар можно «разбить» на куски и собрать из них два таких же шара. Хотя это мало к теме относится. (больше к теории множеств)

[Cash]

Произвольные три точки задают окружность. Через центр этой окружности проводите перпендикуляр к плоскости этих трех точек - получите ГМТ центров сферы.
Скорее всего условие неправильно поняли. Оригинальное условие можно где-нибудь увидеть?

[Keter]

Доказать, что в трёхмерном евклидовом пространстве существует бесконечно много троек чисел (x; y; z), принадлежащих поверхности сферы, у которых хотя бы одна из координат простое число. - оригинальное условие

[Cash]

Условие явно неполное. Если заходит речь о простых числах, то логично было бы сперва сказать о том, что точки с целочисленными координатами. (похоже даже со строго положительными)
Ну и на сферу должно быть наложено какое-то условие. Может центр в начале координат?

-- Вс янв 08, 2012 20:46:36 --

Кажется понял.

(Оффтоп)

Вот что значит инерция мышления. Нигде в условии про именно три точки не говорится

Надо доказать, что существует сфера, на поверхности которой есть бесконечно много точек с хотя бы одной простой координатой

[Keter]

Ну хотя бы так доказать. Пусть будет центр сферы в начале координат. И разумеется простые числа - это целочисленные значения. На счёт положительных - это на усмотрение ведь нам все равно, мы можем взять, точки, которые предложил Legioner93 только с минусом двойки брать - получится та же сфера.

Да. Нужно для начала доказать, хотя бы для для сферы с центром в начале координат. Тут всё легко если брать тройки чисел Legioner93, но место двоек любое простое число. А другие случаи: это например тройка x(17;23;3) y(31;7;2) z(41;5;71) (ну это лишь пример, эти точки вряд ли принадлежат поверхности сферы.)

[Cash]

Опять таки, необходимо потребовать хотя бы рациональность остальных двух координат, иначе слишком тривиально

[Keter]

Cash в сообщении #524619 писал(а):

Кажется понял.

(Оффтоп)

Вот что значит инерция мышления. Нигде в условии про именно три точки не говорится

Надо доказать, что существует сфера, на поверхности которой есть бесконечно много точек с хотя бы одной простой координатой

Да. Вы правы. Теперь задача упростилась) Буду думать.

-- 08.01.2012, 18:56 --

Что Вы имеете в виду под "рациональность остальных двух координат"?

[Irdiil]

а разве ноль-это простое число?
оно даже не натуральное

[Keter]

Irdiil в сообщении #524636 писал(а):

а разве ноль-это простое число?
оно даже не натуральное

сказано, что хотя бы одна координата точки простое число, но не все три.

[Cash]

Рациональность необходима так как иначе проводим через (0, 0, 2) плоскость параллельную Oxy и получаем в пересечении кучу точек. А целочисленность требовать слишком сильно - на любой сфере ограниченное число точек с целочисленными координатами.

Все равно как-то не срастается. Как интерпретировать Число, принадлежащее поверхности сферы? Мне уже первоначальная трактовка больше нравится

[Keter]

Но всё таки про центр сферы в точке ноль ничего не сказано.

Даже так получается, что таких сфер бесконечно много. Ведь простых чисел бесконечно много. Берём любую "простую" координату и чрез неё проводим сферу так, чтобы она принадлежала её поверхности.(да и через одну такую точку можно провести бесконечно много сфер)

А вот если точки три то задача далеко не тривиальная.

-- 08.01.2012, 19:26 --

"Надо доказать, что существует сфера, на поверхности которой есть бесконечно много точек с хотя бы одной простой координатой"

Нужно доказать, что существует бесконечно много сфер, на поверхности которых есть три точки с хотя бы одной простой координатой.

Это будет идеальный вариант.

[Cash]

Цитата:

Нужно доказать, что существует бесконечно много сфер, на поверхности которых есть три точки с хотя бы одной простой координатой

Через любые три точки проходит бесконечное число сфер