Классическая механика в лоренцевых СО

[vicont]

Предлагаю немного развлечься. Посмотреть, как будет выглядеть классическая механика в лоренцевых системах отсчета.
Но сначала эти самые системы отсчета надо построить.
Возьмем множество декартовых СО, используемых в классической механике, и рассмотрим подмножество, состоящее из СО, координатные оси которых паралельны и направлены в одну сторону, движущиеся друг относительно друга вдоль оси $X. В классической механике во всех СО используется одна и та же единица измерения времени $Ed_t=Ed'_t, а часы синхронизированы в смысле абсолютного времени. И одинковая еидинца измерения длины для каждой из пространственных осей $Ed_x=Ed'_x ; Ed_y=Ed'_y ; Ed_z=Ed'_z. Причем эти единицы длины выбраны таким образом, чтобы эталонная линейка одной оси при повороте на другую ось, совмещалась с эталонной линейкой этой оси. В результате мы считаем, что $Ed_x=Ed_y=Ed_z. Связаны эти СО преобразованиями Галилея.
Скорость света в этих СО естественно не является инвариантной. И только в одной СО из рассматриваемого подмножества скорость света одинакова во всех направлениях. Назовем ее "основной".
Ну вот, теперь можно приступать к построению лорецевых СО.
В основной СО оставим все единицы измерения такими же как и в классических СО.
А в движущихся относительно нее СО выберем единицы измерения следующим образом (штрихи относятся к движущимся СО):
$Ed'_y=Ed_y
$Ed'_z=Ed_z
$Ed'_x=Ed_x\sqrt{1-V^2/c^2}
$Ed'_t=\frac{Ed_t}{\sqrt{1-V^2/c^2}},
где $V скорость движущейся СО относительно основной СО, $c скорость света в основной СО.
Осталось только синхронизировать часы в каждой из полученных СО при помощи процедуры Эйнштейна. При этом стрелки часов в основной СО переставлять не придется. Они как показывали абсолютное время, так и будут показывать.
А в движущихся СО в нулевой момент времени основной СО часы будут показывать $-\frac{Vx/c^2}{\sqrt{1-V^2/c^2}}, где $x координата часов движущейся СО в основной СО.
Ну вот, полученные СО связаны между собой преобразованиями Лоренца.
Теперь можно рассмотреть что же в результате получилось.

[Drac Makac]

не понял-а зачем это ?

[vicont]

Drac Makac в сообщении #524067 писал(а):

не понял-а зачем это ?

Я же сказал, для развлечения.
Ну и, возможно, все-таки разберемся, чем же классическая механика отличается от СТО (или просто я в этом разберусь). А то в этом отношении столько мифов ходит... (во всяком случае мне так кажется)

[Drac Makac]

геометрией пространства
а у вас в построении какая геометрия-евклидова или лоренцева?

[Someone]

Drac Makac в сообщении #524080 писал(а):

геометрией пространства

Не пространства, а пространства-времени.

Drac Makac в сообщении #524080 писал(а):

а у вас в построении какая геометрия-евклидова или лоренцева?

Если речь идёт о геометрии пространства, то она в классической механике и в СТО одинаковая - евклидова. Если о геометрии пространства-времени, то в СТО это геометрия Минковского, а в классической механике - геометрия Галилея. Обе совершенно не евклидовы.

[Drac Makac]

Цитата:

Не пространства, а пространства-времени.

да, конечно

Цитата:

Если речь идёт о геометрии пространства, то она в классической механике и в СТО одинаковая - евклидова. Если о геометрии пространства-времени, то в СТО это геометрия Минковского, а в классической механике - геометрия Галилея. Обе совершенно не евклидовы.

так какая у ТС?

[Neloth]

Drac Makac в сообщении #524092 писал(а):

так какая у ТС?

Галилеева естественно, иначе получится СТО.

vicont в сообщении #524064 писал(а):

Теперь можно рассмотреть что же в результате получилось.

Кроме того, что наблюдатели почти во всех "системах отсчета" ощутили себя идиотами?

[vicont]

Итак, что у нас со временем.
Прежде всего мы получили относительность одновременности. Благодаря "перекосу" синхронизации часов между движущимися СО и основной СО и между самими движущимися СО.
Сравним ход часов в основной СО и движущейся СО.
Сначала с точки зрения наблюдателя основной СО. Пусть часы двух СО находятся в одной точке (начало координат обоих СО) и показывают ноль. Через промежуток времени $t (по часам основной СО) часы движущейся СО окажутся в одной точке с другими часами основной СО. Часы основной СО будут показывать $t (напомню, часы в СО синхронизированы), а часы движущейся СО будут показывать $t\sqrt{1-V^2/c^2}.
Итак, наблюдатель в основной СО придет к выводу, что часы в движущейся СО идут медленнее. Ничего удивительного, мы ведь сами их настроили таким образом, выбрав единицу измерения, а функция часов ведь просто воспроизводить эту единицу измерения.
А теперь с точки зрения наблюдателя движущейся СО.
Снова часы двух СО находятся в одной точке и показывают ноль. Через интервал времени (опять же по часам основной СО) $t часы основной СО окажутся в одной точке с другими часами движущейся СО. Часы основной СО будут показывать $t. Часы движущейся СО, с показаниями которых идет сравнение, в нулевой момент времени (по часам основной СО) находились в точке с координатой $x=-Vt и показывали $\frac{tV^2/c^2}{\sqrt{1-V^2/c^2}}. А в момент времени $t они уже будут показывать $\frac{tV^2/c^2}{\sqrt{1-V^2/c^2}}+t\sqrt{1-V^2/c^2}=\frac{tV^2/c^2+t-tV^2/c^2}{\sqrt{1-V^2/c^2}}=\frac{t}{\sqrt{1-V^2/c^2}}
Итак, наблюдатель движущейся СО придет к выводу, что часы основной СО идут медленнее. Впрочем тоже ничего удивительного. Результат "перекоса" синхронизации.
Ситуация весьма похожа на ситуацию в СТО. За исключением того, что оба наблюдателя прекрасно знают, в результате какого эффекта каждый из них пришел к соответствующему выводу.
Но вот если мы часы основной СО разгоним до скорости движущейся СО, то окажется, что эти часы идут быстрее часов движущейся СО.
Напомню, мы в рамках классической механики, где длительность процессов в системе не зависит от скорости системы (нет замедления времени)
С близнецами тоже все понятно. Домосед и путешественник при возвращении последнего домой будут одного возраста, Даже если путешественник будет свои часы перенастраивать по ходу своего путешествия.
В отличие от классической механики в СТО длительность процессов зависит от скорости (замедление времени). В результате если мы разгоним часы основной СО до скорости движущейся, то эти часы будут идти в том же темпе, что и часы движущейся СО. В результате для наблюдателя основной СО часы движущейся СО идут медленнее в результате "замедления времени". А для наблюдателя движущейся СО часы основной СО идут медленнее в результате "перекоса" синхронизации. Но если "стереть" галилеевские СО и забыть какая из СО основная, а какая движущаяся, то ни один из наблюдателей не сможет решить благодаря какому из двух эффектов он сделал свой вывод.

[vicont]

Drac Makac в сообщении #524092 писал(а):

так какая у ТС?

После того, как я построил системы отсчета (или, другими словами, алгоритм оцифровки реальных событий) от моего желания уже ничего не зависит. Геометрия пространства времени оказывается уже заданной.

Neloth в сообщении #524100 писал(а):

Галилеева естественно, иначе получится СТО.

Так уж и естественно?
В полученных лоренцевых СО расстояние между двумя событиями в пространстве $(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2 не является инвариантным в общем случае, в отличие от галилеевых СО. Временной интервал между двумя событиями $\Delta t также в общем случае не является инвариантным, опять же в отличие от галилеевых СО. Зато интервал $(\Delta s)^2=c^2(\Delta t)^2-(\Delta x)^2-(\Delta y)^2-(\Delta z)^2 величина инвариантная.
Так что геометрия пространства-времени получается Минковского, а не галилеева. И тем не менее классическая механика в СТО не превратилась.


Кстати, забыл написать. Не все галилеевы СО из выбранного подмножества удастся преобразовать в лоренцевы. Поскольку в классической механике скорости не ограничены, то скорости движения систем отсчета относительно основной СО $V лежат в интервале от $ -\propto до $ \propto. А синхронизировать часы по Эйнштейну удастся только для СО, для которых $V\le c

[Neloth]

vicont в сообщении #524309 писал(а):

Так что геометрия пространства-времени получается Минковского, а не галилеева.

Из-за того, что вы использовали другую систему координат? У вас всегда при переходе от одних координат к другим меняется геометрия?

-- Сб янв 07, 2012 20:44:53 --

vicont в сообщении #524309 писал(а):

расстояние между двумя событиями в пространстве $(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2$

Что-то я не уверен, что формула должна выглядеть именно так.

[Munin]

vicont в сообщении #524077 писал(а):

Ну и, возможно, все-таки разберемся, чем же классическая механика отличается от СТО (или просто я в этом разберусь). А то в этом отношении столько мифов ходит... (во всяком случае мне так кажется)

Хотите разобраться - решите задачу:
два тела массами $m$ и $M$ с начальными скоростями $v_0$ и $V_0,$ направленными по одной прямой, упруго сталкиваются и разлетаются вдоль той же прямой.
Решите в одной ИСО, других использовать просто не надо, так что вопросы перехода между ИСО вас вообще затрагивать не должны.
Получите два ответа: для классической механики и для СТО.

И вот тогда уже эти два ответа можно будет анализировать с точки зрения инвариантности относительно смен систем координат.

[Nikto]

или Так:
два тела массами $m$ и $m$ с начальными скоростями 0,6 $c$ направленными по одной прямой, неупруго сталкиваются с последующим переходом кинетической энергии в джоулево тепло.
Решите в одной ИСО, других использовать просто не надо, так что вопросы перехода между ИСО вас вообще затрагивать не должны.
Получите два ответа: для классической механики и для СТО.

И вот тогда ужо ...

[vicont]

Neloth в сообщении #524322 писал(а):

Из-за того, что вы использовали другую систему координат? У вас всегда при переходе от одних координат к другим меняется геометрия?

Нет не всегда. Только если меняется.

[Munin]

Геометрия не меняется при переходе к другим координатам. Геометрия меняется при переходе к другим законам физики.

[vicont]

Munin в сообщении #524329 писал(а):

Хотите разобраться - решите задачу:
два тела массами $m$ и $M$ с начальными скоростями $v_0$ и $V_0,$ направленными по одной прямой, упруго сталкиваются и разлетаются вдоль той же прямой.
Решите в одной ИСО, других использовать просто не надо, так что вопросы перехода между ИСО вас вообще затрагивать не должны.
Получите два ответа: для классической механики и для СТО.

Классическая механика в галилеевых СО.
Нужно решить систему двух уравнений:
$mv_0+MV_0=mv_1+MV_1
$\frac{mv_0^2}{2}+\frac{MV_0^2}{2}=\frac{mv_1^2}{2}+\frac{MV_1^2}{2}
отсюда
$v_1=\frac{2MV_0+(m-M)v_0}{m+M}
$V_1=\frac{2mv_0+(M-m)V_0}{m+M}

СТО в лоренцевых СО.
Нужно решить систему двух уравнений:
$\frac{mv_0}{\sqrt{1-v_0^2/c^2}}+\frac{MV_0}{\sqrt{1-V_0^2/c^2}}=\frac{mv_1}{\sqrt{1-v_1^2/c^2}}+\frac{MV_1}{\sqrt{1-V_1^2/c^2}}
$\frac{mc^2}{\sqrt{1-v_0^2/c^2}}+\frac{Mc^2}{\sqrt{1-V_0^2/c^2}}=\frac{mc^2}{\sqrt{1-v_1^2/c^2}}+\frac{Mc^2}{\sqrt{1-V_1^2/c^2}}
$v_1=\frac{(p_0+P_0)\sqrt{1-V_1^2/c^2}-MV_1}{(e_0/c^2+E_0/c^2)\sqrt{1-V_1^2/c^2}-M}
А $V_1 можно найти из
$p_0+P_0=\frac{MV_1}{\sqrt{1-V_1^2/c^2}}+\frac{m\frac{(p_0+P_0)\sqrt{1-V_1^2/c^2}-MV_1}{(e_0/c^2+E_0/c^2)\sqrt{1-V_1^2/c^2}-M}}{\sqrt{1-(\frac{(p_0+P_0)\sqrt{1-V_1^2/c^2}-MV_1}{(e_0/c^2+E_0/c^2)\sqrt{1-V_1^2/c^2}-M})^2/c^2}}
Ну не хватило у меня терпения это все получше причесать.

-- Вс янв 08, 2012 17:48:47 --

Nikto в сообщении #524364 писал(а):

или Так:два тела массами и с начальными скоростями 0,6 направленными по одной прямой, неупруго сталкиваются с последующим переходом кинетической энергии в джоулево тепло.Решите в одной ИСО, других использовать просто не надо, так что вопросы перехода между ИСО вас вообще затрагивать не должны.Получите два ответа: для классической механики и для СТО.

И в классической механике и в СТО слипшиеся после соударения тела будут покоится. Или вы про другое спрашивали?

-- Вс янв 08, 2012 18:02:36 --

Munin в сообщении #524597 писал(а):

Геометрия не меняется при переходе к другим координатам. Геометрия меняется при переходе к другим законам физики.

У меня такое впечатление, что вы что-то недоговариваете. Потому что без дополнительных условий ваше утверждение не является правильным.
Если я ошибаюсь, то это очень просто показать. Есть классическая механика, есть галилеевы СО, есть лоренцевы СО (каким образом они построены я описал в стартовом сообщении). Просто покажите, что и там и там геометрия пространства-времени идентична.