2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Классическая механика в лоренцевых СО
Сообщение07.01.2012, 01:00 


06/12/09
611
Предлагаю немного развлечься. Посмотреть, как будет выглядеть классическая механика в лоренцевых системах отсчета.
Но сначала эти самые системы отсчета надо построить.
Возьмем множество декартовых СО, используемых в классической механике, и рассмотрим подмножество, состоящее из СО, координатные оси которых паралельны и направлены в одну сторону, движущиеся друг относительно друга вдоль оси $X. В классической механике во всех СО используется одна и та же единица измерения времени $Ed_t=Ed'_t, а часы синхронизированы в смысле абсолютного времени. И одинковая еидинца измерения длины для каждой из пространственных осей $Ed_x=Ed'_x ; Ed_y=Ed'_y ; Ed_z=Ed'_z. Причем эти единицы длины выбраны таким образом, чтобы эталонная линейка одной оси при повороте на другую ось, совмещалась с эталонной линейкой этой оси. В результате мы считаем, что $Ed_x=Ed_y=Ed_z. Связаны эти СО преобразованиями Галилея.
Скорость света в этих СО естественно не является инвариантной. И только в одной СО из рассматриваемого подмножества скорость света одинакова во всех направлениях. Назовем ее "основной".
Ну вот, теперь можно приступать к построению лорецевых СО.
В основной СО оставим все единицы измерения такими же как и в классических СО.
А в движущихся относительно нее СО выберем единицы измерения следующим образом (штрихи относятся к движущимся СО):
$Ed'_y=Ed_y
$Ed'_z=Ed_z
$Ed'_x=Ed_x\sqrt{1-V^2/c^2}
$Ed'_t=\frac{Ed_t}{\sqrt{1-V^2/c^2}},
где $V скорость движущейся СО относительно основной СО, $c скорость света в основной СО.
Осталось только синхронизировать часы в каждой из полученных СО при помощи процедуры Эйнштейна. При этом стрелки часов в основной СО переставлять не придется. Они как показывали абсолютное время, так и будут показывать.
А в движущихся СО в нулевой момент времени основной СО часы будут показывать $-\frac{Vx/c^2}{\sqrt{1-V^2/c^2}}, где $x координата часов движущейся СО в основной СО.
Ну вот, полученные СО связаны между собой преобразованиями Лоренца.
Теперь можно рассмотреть что же в результате получилось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая механика в лоренцевых СО
Сообщение07.01.2012, 01:08 


03/01/12

31
не понял-а зачем это ? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая механика в лоренцевых СО
Сообщение07.01.2012, 01:33 


06/12/09
611
Drac Makac в сообщении #524067 писал(а):
не понял-а зачем это ?

Я же сказал, для развлечения.
Ну и, возможно, все-таки разберемся, чем же классическая механика отличается от СТО (или просто я в этом разберусь). А то в этом отношении столько мифов ходит... (во всяком случае мне так кажется)

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая механика в лоренцевых СО
Сообщение07.01.2012, 01:34 


03/01/12

31
геометрией пространства
а у вас в построении какая геометрия-евклидова или лоренцева? :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая механика в лоренцевых СО
Сообщение07.01.2012, 01:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Drac Makac в сообщении #524080 писал(а):
геометрией пространства
Не пространства, а пространства-времени.

Drac Makac в сообщении #524080 писал(а):
а у вас в построении какая геометрия-евклидова или лоренцева?
Если речь идёт о геометрии пространства, то она в классической механике и в СТО одинаковая - евклидова. Если о геометрии пространства-времени, то в СТО это геометрия Минковского, а в классической механике - геометрия Галилея. Обе совершенно не евклидовы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая механика в лоренцевых СО
Сообщение07.01.2012, 01:54 


03/01/12

31
Цитата:
Не пространства, а пространства-времени.
да, конечно :oops:

Цитата:
Если речь идёт о геометрии пространства, то она в классической механике и в СТО одинаковая - евклидова. Если о геометрии пространства-времени, то в СТО это геометрия Минковского, а в классической механике - геометрия Галилея. Обе совершенно не евклидовы.
так какая у ТС?

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая механика в лоренцевых СО
Сообщение07.01.2012, 02:16 
Заслуженный участник


31/07/10
1393
Drac Makac в сообщении #524092 писал(а):
так какая у ТС?

Галилеева естественно, иначе получится СТО.

vicont в сообщении #524064 писал(а):
Теперь можно рассмотреть что же в результате получилось.

Кроме того, что наблюдатели почти во всех "системах отсчета" ощутили себя идиотами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая механика в лоренцевых СО
Сообщение07.01.2012, 02:31 


06/12/09
611
Итак, что у нас со временем.
Прежде всего мы получили относительность одновременности. Благодаря "перекосу" синхронизации часов между движущимися СО и основной СО и между самими движущимися СО.
Сравним ход часов в основной СО и движущейся СО.
Сначала с точки зрения наблюдателя основной СО. Пусть часы двух СО находятся в одной точке (начало координат обоих СО) и показывают ноль. Через промежуток времени $t (по часам основной СО) часы движущейся СО окажутся в одной точке с другими часами основной СО. Часы основной СО будут показывать $t (напомню, часы в СО синхронизированы), а часы движущейся СО будут показывать $t\sqrt{1-V^2/c^2}.
Итак, наблюдатель в основной СО придет к выводу, что часы в движущейся СО идут медленнее. Ничего удивительного, мы ведь сами их настроили таким образом, выбрав единицу измерения, а функция часов ведь просто воспроизводить эту единицу измерения.
А теперь с точки зрения наблюдателя движущейся СО.
Снова часы двух СО находятся в одной точке и показывают ноль. Через интервал времени (опять же по часам основной СО) $t часы основной СО окажутся в одной точке с другими часами движущейся СО. Часы основной СО будут показывать $t. Часы движущейся СО, с показаниями которых идет сравнение, в нулевой момент времени (по часам основной СО) находились в точке с координатой $x=-Vt и показывали $\frac{tV^2/c^2}{\sqrt{1-V^2/c^2}}. А в момент времени $t они уже будут показывать $\frac{tV^2/c^2}{\sqrt{1-V^2/c^2}}+t\sqrt{1-V^2/c^2}=\frac{tV^2/c^2+t-tV^2/c^2}{\sqrt{1-V^2/c^2}}=\frac{t}{\sqrt{1-V^2/c^2}}
Итак, наблюдатель движущейся СО придет к выводу, что часы основной СО идут медленнее. Впрочем тоже ничего удивительного. Результат "перекоса" синхронизации.
Ситуация весьма похожа на ситуацию в СТО. За исключением того, что оба наблюдателя прекрасно знают, в результате какого эффекта каждый из них пришел к соответствующему выводу.
Но вот если мы часы основной СО разгоним до скорости движущейся СО, то окажется, что эти часы идут быстрее часов движущейся СО.
Напомню, мы в рамках классической механики, где длительность процессов в системе не зависит от скорости системы (нет замедления времени)
С близнецами тоже все понятно. Домосед и путешественник при возвращении последнего домой будут одного возраста, Даже если путешественник будет свои часы перенастраивать по ходу своего путешествия.
В отличие от классической механики в СТО длительность процессов зависит от скорости (замедление времени). В результате если мы разгоним часы основной СО до скорости движущейся, то эти часы будут идти в том же темпе, что и часы движущейся СО. В результате для наблюдателя основной СО часы движущейся СО идут медленнее в результате "замедления времени". А для наблюдателя движущейся СО часы основной СО идут медленнее в результате "перекоса" синхронизации. Но если "стереть" галилеевские СО и забыть какая из СО основная, а какая движущаяся, то ни один из наблюдателей не сможет решить благодаря какому из двух эффектов он сделал свой вывод.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая механика в лоренцевых СО
Сообщение07.01.2012, 18:51 


06/12/09
611
Drac Makac в сообщении #524092 писал(а):
так какая у ТС?

После того, как я построил системы отсчета (или, другими словами, алгоритм оцифровки реальных событий) от моего желания уже ничего не зависит. Геометрия пространства времени оказывается уже заданной.
Neloth в сообщении #524100 писал(а):
Галилеева естественно, иначе получится СТО.

Так уж и естественно?
В полученных лоренцевых СО расстояние между двумя событиями в пространстве $(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2 не является инвариантным в общем случае, в отличие от галилеевых СО. Временной интервал между двумя событиями $\Delta t также в общем случае не является инвариантным, опять же в отличие от галилеевых СО. Зато интервал $(\Delta s)^2=c^2(\Delta t)^2-(\Delta x)^2-(\Delta y)^2-(\Delta z)^2 величина инвариантная.
Так что геометрия пространства-времени получается Минковского, а не галилеева. И тем не менее классическая механика в СТО не превратилась.


Кстати, забыл написать. Не все галилеевы СО из выбранного подмножества удастся преобразовать в лоренцевы. Поскольку в классической механике скорости не ограничены, то скорости движения систем отсчета относительно основной СО $V лежат в интервале от $ -\propto до $ \propto. А синхронизировать часы по Эйнштейну удастся только для СО, для которых $V\le c

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая механика в лоренцевых СО
Сообщение07.01.2012, 19:22 
Заслуженный участник


31/07/10
1393
vicont в сообщении #524309 писал(а):
Так что геометрия пространства-времени получается Минковского, а не галилеева.

Из-за того, что вы использовали другую систему координат? У вас всегда при переходе от одних координат к другим меняется геометрия?

-- Сб янв 07, 2012 20:44:53 --

vicont в сообщении #524309 писал(а):
расстояние между двумя событиями в пространстве $(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2$

Что-то я не уверен, что формула должна выглядеть именно так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая механика в лоренцевых СО
Сообщение07.01.2012, 19:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
vicont в сообщении #524077 писал(а):
Ну и, возможно, все-таки разберемся, чем же классическая механика отличается от СТО (или просто я в этом разберусь). А то в этом отношении столько мифов ходит... (во всяком случае мне так кажется)

Хотите разобраться - решите задачу:
два тела массами $m$ и $M$ с начальными скоростями $v_0$ и $V_0,$ направленными по одной прямой, упруго сталкиваются и разлетаются вдоль той же прямой.
Решите в одной ИСО, других использовать просто не надо, так что вопросы перехода между ИСО вас вообще затрагивать не должны.
Получите два ответа: для классической механики и для СТО.

И вот тогда уже эти два ответа можно будет анализировать с точки зрения инвариантности относительно смен систем координат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая механика в лоренцевых СО
Сообщение07.01.2012, 22:13 


18/06/11
20
Sterlitamak
или Так:
два тела массами $m$ и $m$ с начальными скоростями 0,6 $c$ направленными по одной прямой, неупруго сталкиваются с последующим переходом кинетической энергии в джоулево тепло.
Решите в одной ИСО, других использовать просто не надо, так что вопросы перехода между ИСО вас вообще затрагивать не должны.
Получите два ответа: для классической механики и для СТО.

И вот тогда ужо ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая механика в лоренцевых СО
Сообщение08.01.2012, 17:47 


06/12/09
611
Neloth в сообщении #524322 писал(а):
Из-за того, что вы использовали другую систему координат? У вас всегда при переходе от одних координат к другим меняется геометрия?

Нет не всегда. Только если меняется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая механика в лоренцевых СО
Сообщение08.01.2012, 18:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Геометрия не меняется при переходе к другим координатам. Геометрия меняется при переходе к другим законам физики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая механика в лоренцевых СО
Сообщение08.01.2012, 18:43 


06/12/09
611
Munin в сообщении #524329 писал(а):
Хотите разобраться - решите задачу:
два тела массами $m$ и $M$ с начальными скоростями $v_0$ и $V_0,$ направленными по одной прямой, упруго сталкиваются и разлетаются вдоль той же прямой.
Решите в одной ИСО, других использовать просто не надо, так что вопросы перехода между ИСО вас вообще затрагивать не должны.
Получите два ответа: для классической механики и для СТО.

Классическая механика в галилеевых СО.
Нужно решить систему двух уравнений:
$mv_0+MV_0=mv_1+MV_1
$\frac{mv_0^2}{2}+\frac{MV_0^2}{2}=\frac{mv_1^2}{2}+\frac{MV_1^2}{2}
отсюда
$v_1=\frac{2MV_0+(m-M)v_0}{m+M}
$V_1=\frac{2mv_0+(M-m)V_0}{m+M}

СТО в лоренцевых СО.
Нужно решить систему двух уравнений:
$\frac{mv_0}{\sqrt{1-v_0^2/c^2}}+\frac{MV_0}{\sqrt{1-V_0^2/c^2}}=\frac{mv_1}{\sqrt{1-v_1^2/c^2}}+\frac{MV_1}{\sqrt{1-V_1^2/c^2}}
$\frac{mc^2}{\sqrt{1-v_0^2/c^2}}+\frac{Mc^2}{\sqrt{1-V_0^2/c^2}}=\frac{mc^2}{\sqrt{1-v_1^2/c^2}}+\frac{Mc^2}{\sqrt{1-V_1^2/c^2}}
$v_1=\frac{(p_0+P_0)\sqrt{1-V_1^2/c^2}-MV_1}{(e_0/c^2+E_0/c^2)\sqrt{1-V_1^2/c^2}-M}
А $V_1 можно найти из
$p_0+P_0=\frac{MV_1}{\sqrt{1-V_1^2/c^2}}+\frac{m\frac{(p_0+P_0)\sqrt{1-V_1^2/c^2}-MV_1}{(e_0/c^2+E_0/c^2)\sqrt{1-V_1^2/c^2}-M}}{\sqrt{1-(\frac{(p_0+P_0)\sqrt{1-V_1^2/c^2}-MV_1}{(e_0/c^2+E_0/c^2)\sqrt{1-V_1^2/c^2}-M})^2/c^2}}
Ну не хватило у меня терпения это все получше причесать.

-- Вс янв 08, 2012 17:48:47 --

Nikto в сообщении #524364 писал(а):
или Так:два тела массами и с начальными скоростями 0,6 направленными по одной прямой, неупруго сталкиваются с последующим переходом кинетической энергии в джоулево тепло.Решите в одной ИСО, других использовать просто не надо, так что вопросы перехода между ИСО вас вообще затрагивать не должны.Получите два ответа: для классической механики и для СТО.

И в классической механике и в СТО слипшиеся после соударения тела будут покоится. Или вы про другое спрашивали?

-- Вс янв 08, 2012 18:02:36 --

Munin в сообщении #524597 писал(а):
Геометрия не меняется при переходе к другим координатам. Геометрия меняется при переходе к другим законам физики.

У меня такое впечатление, что вы что-то недоговариваете. Потому что без дополнительных условий ваше утверждение не является правильным.
Если я ошибаюсь, то это очень просто показать. Есть классическая механика, есть галилеевы СО, есть лоренцевы СО (каким образом они построены я описал в стартовом сообщении). Просто покажите, что и там и там геометрия пространства-времени идентична.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 60 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group