Монета бросается до выпадения трех раз подряд одной стороной

[Leox]

Найти математическое ожидание количества бросаний.

[arseniiv]

И?

[svv]

(arseniiv)

Слыхали лингвистическую баечку? Двое древних римлян поспорили, кто короче фразу скажет. Один сказал: "Eo rus". Другой ответил: "I".

[Leox]

arseniiv в сообщении #524265 писал(а):

И?

Пробовал строить случайную дискретную величину $(X,p)$ (количество бросаний, вероятность того что выпадает три раза подряд одна сторона) а затем найти ее математическое ожидание.
Получатся такая табличка значений
X 1, 2, 3, 4, 5,

p 0 , 0, $1/2^3$, $1/2^4$, $1/2^5$

и так далее. Для математического ожидания получам ряд $\sum_{i=3}^{\infty} \frac{i}{2^i}$ сумма которого равна 1, что явно неправильно.

[PAV]

Уточните условие задачи. "Одной" - это любой из двух, главное три раза одинаково, или три раза одной заранее заданной (например, три орла)?

[Leox]

PAV в сообщении #524283 писал(а):

Уточните условие задачи. "Одной" - это любой из двух, главное три раза одинаково, или три раза одной заранее заданной (например, три орла)?

Бросается до выпадения три раза подряд орла.

[Shadow]

Если обозначить $y$ мат. ожидание при наличие друх одинаковых подряд, а с $x$ - мат ожидание при неналичие двух подряд, то то мат. ожидание будет $S=1+x$. А чвму равны x и y?
Ой, только орел. Ладно тогда будет $x,y,z$. Нет орла, один орел, два орла

[PAV]

Тогда можно воспользоваться тем, что когда монета выпадает решкой, то после этого эксперимент можно считать начавшимся заново, с нуля, распределение такое же, предыдущая история не важна. Можно рассмотреть четыре возможных начала: Р, ОР, ООР, ООО. В последнем случае эксперимент закончен, а в первых требуемое математическое ожидание в конечном итоге выражается через себя, что дает для него уравнение.

[Leox]

Извиняюсь, напутал с условием, неправильно перевел "expected number of tosses " до появления трех орлов, как мат. ожидание

[Padawan]

По формуле полного мат.ожидания $A=\frac 12 (1+A)+\frac 1 4 (2+A)+\frac18(3+A)+\frac 18\cdot 3$ (см. сообщение PAV), откуда $A=14$

[Leox]

Понял принцип, спасибо всем

[Shadow]

(Оффтоп)

Или объяснить (и решить) систему:

$\begin{cases} x=\frac{1}{2}(1+y)+\frac{1}{2}(1+x)\\ y=\frac{1}{2}(1+z)+\frac{1}{2}(1+x)\\ z=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(1+x) \end{cases}$