Линейная алгебра. Подпространства

[keksman]

Доброго времени суток. Всех с праздником!

Прздники праздниками, а вот экзамен уже послезавтра
Народ, кто разбирается в линейной алгебре. Помогите, пожалуйста.
Вот что-то я туплю, а нормального объяснения нигде найти не могу.

В чем разница между линейной оболочкой и подпространством? если на пальцах.
В течение семестра как-то проблем с этим не было, а сейчас торможу.

Вот например, дано нам пространство $R^{n}$
Подпространством пространства $R^{n}$ будет являться любое множество $P$ принадлежащие пространству $R^{n}$ и при этом сохраняющее свойства пространства.

Теперь линейная оболочка.
Линейная оболочка $L<x_{1},\; x_{2},\; ...\; x_{n}>$ это множество всех линейно зависимых от $x_{1},\; x_{2},\; ...\; x_{n}$ векторов.

То есть по сути, линейная оболочка - это и есть подпространство, так?
Или же вернее будет сказать, что линейная оболочка это способ задать подпространство?

Поправьте, пожалуйста.

[wallflower]

keksman в сообщении #524254 писал(а):

линейная оболочка это способ задать подпространство?

Да. Линейная оболочка -- это подпространство, порождённое заданными векторами. В любом подпространстве $P$ можно взять любой базис $(a_1,...,a_n)$ и сказать, что $P=\langle a_1,...,a_n\rangle$.

[Legioner93]

Любое подпространство является линейной оболочкой каких-то векторов из пространства (и базисных векторов подпространства).

keksman в сообщении #524254 писал(а):

Или же вернее будет сказать, что линейная оболочка это способ задать подпространство?

Да.

[svv]

Иногда случается заскок, в результате которого кажется, что всегда $\dim L(x_1, ..., x_n)=n$, но надо помнить, что векторы $x_1, ..., x_n$ могут быть линейно зависимы.

[keksman]

Спасибо! Сходил попил водички, подышал свежим воздухом и снова прочитал свои материалы и все понял :)
спасибо большое!

svv, это я почему-то хорошо помню. Спасибо!