Лимит

[never-sleep]

Я его нашел, но он какой-то подозрительный -- похоже на подобие решения?

$\lim\limits_{x\to 0}\Big(\dfrac{1}{\ln(\sqrt{1+x})}-\dfrac{2}{x}\Big)^{\frac{\sh x}{x}}$

$$\lim_{x\to 0}\Big(\dfrac{1}{\ln(\sqrt{1+x})}-\dfrac{2}{x}\Big)^{\frac{\sh x}{x}}=\lim_{x\to 0}\exp\Big({\frac{\sh x}{x}}\cdot\ln\Bigl(\dfrac{1}{\ln(\sqrt{1+x})}-\dfrac{2}{x}\Big)\Bigl)=\exp\Big(\lim_{x\to 0}{\frac{\sh x}{x}}\cdot \lim_{x\to 0}\ln\Bigl(\dfrac{1}{\ln(\sqrt{1+x})}-\dfrac{2}{x}\Big)\Bigl)=$$

$$=\exp\Big(\lim_{x\to 0}{\frac{(\sh x)'}{x'}}\cdot \lim_{x\to 0}\ln\Bigl(\dfrac{1}{\ln(\sqrt{1+x})}-\dfrac{2}{x}\Big)\Bigl)=\exp\Big(\lim_{x\to 0}{\frac{\ch x}{1}}\cdot \lim_{x\to 0}\ln\Bigl(\dfrac{2}{\ln{(1+x)}}-\dfrac{2}{x}\Big)\Bigl)=$$

$$=\exp\Big(\lim_{x\to 0}\ln\Bigl(\dfrac{2x-2\ln(1+x)}{x\ln{(1+x)}}\Big)\Bigl)=\exp\Big(2\lim_{x\to 0}\ln\Bigl(\dfrac{x-x+x^2/2+o(x^2)}{x(1+o(x))}\Big)\Bigl)=$$

$$=\exp\Big(2\lim_{x\to 0}\ln\Bigl(\dfrac{x^2/2+o(x^2)}{x+o(x^2)}\Big)\Bigl)=\exp\Big(2\lim_{x\to 0}\ln\Bigl(\dfrac{x/2+o(x)}{1+o(x)}}\Big)\Bigl)=e^0=1$$

[Drac Makac]

ну показатель можно сразу на единичну заменить, а там сразу....

[never-sleep]

Drac Makac в сообщении #524102 писал(а):

ну показатель можно сразу на единичну заменить, а там сразу....

Вот именно поэтому и спрашивал про то свойство, боялся так сделать) А так правильно?

[Drac Makac]

делайте, и ничего не бойтесь)

[never-sleep]

$$\lim\limits_{x\to 0}\Big(\dfrac{1}{\ln(\sqrt{1+x})}-\dfrac{2}{x}\Big)^{\frac{\sh x}{x}}=\lim\limits_{x\to 0}\Big(\dfrac{1}{\ln(\sqrt{1+x})}-\dfrac{2}{x}\Big)=$$

$$=\lim_{x\to 0}\Big(\dfrac{2}{\ln({1+x})}-\dfrac{2}{x}\Big)=$$

$$=\lim_{x\to 0}\Bigl(\dfrac{2x-2\ln(1+x)}{x\ln{(1+x)}}\Bigl)=2\lim_{x\to 0}\Bigl(\dfrac{x-x+x^2/2+o(x^2)}{x(1+o(x))}\Bigl)=$$

$$=2\lim_{x\to 0}\Bigl(\dfrac{x^2/2+o(x^2)}{x+o(x^2)}\Bigl)=2\lim_{x\to 0}\Bigl(\dfrac{x/2+o(x)}{1+o(x)}}\Bigl)=e^0=1$$

[Nemiroff]

Цитата:

$$2\lim_{x\to 0}\Bigl(\dfrac{x/2+o(x)}{1+o(x)}}\Bigl)=e^0=1$$

Серьезно?

[never-sleep]

Nemiroff в сообщении #524108 писал(а):

Цитата:

$$2\lim_{x\to 0}\Bigl(\dfrac{x/2+o(x)}{1+o(x)}}\Bigl)=e^0=1$$

Серьезно?

$2\lim\limits_{x\to 0}\Bigl(\dfrac{x/2+o(x)}{1+o(x)}}\Bigl)=0$

Ой, скорее вот так!

[Nemiroff]

Должна получиться единица, у вас до этого ошибка - проверяйте.

[never-sleep]

Nemiroff в сообщении #524110 писал(а):

Должна получиться единица, у вас до этого ошибка - проверяйте.

Лопиталем получилось 1, а тут видимо с $o()$ намудрил...