System of equations.

[man111]

Solve system of equations for real $x\;,y\;,z$

$x^2+y^2=2.(\lfloor z^2 \rfloor+1).(\left\{z^2\right\}+1)$

$y^2+z^2=2.(\lfloor x^2 \rfloor +1).(\left\{x^2\right\}+1)$

$z^2+x^2=2.(\lfloor y^2 \rfloor +1).(\left\{y^2\right\}+1)$

Where $\lfloor x \rfloor} =$ floor function

$\left\{\;x\left\}} =$fractional part function

[venco]

Нет решений.
Просто сложите все равенства и раскройте скобки.

[EtCetera]

Интереснее рассмотреть систему
$\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2=2\left(\left\lfloor z\right\rfloor^2+1\right)\left(\left\{z\right\}^2+1\right)\\[0.2cm] y^2+z^2=2\left(\left\lfloor x\right\rfloor^2+1\right)\left(\left\{x\right\}^2+1\right) \\[0.2cm] x^2+z^2=2\left(\left\lfloor y\right\rfloor^2+1\right)\left(\left\{y\right\}^2+1\right)\end{array}\right.$

[Simba]

EtCetera в сообщении #523639 писал(а):

Интереснее рассмотреть систему
$\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2=2\left(\left\lfloor z\right\rfloor^2+1\right)\left(\left\{z\right\}^2+1\right)\\[0.2cm] y^2+z^2=2\left(\left\lfloor x\right\rfloor^2+1\right)\left(\left\{x\right\}^2+1\right) \\[0.2cm] x^2+z^2=2\left(\left\lfloor y\right\rfloor^2+1\right)\left(\left\{y\right\}^2+1\right)\end{array}\right.$

Приводим к виду каждое уравнение:
$x^2+y^2=2(\lfloor z\rfloor \left\{z\right\} - 1)^2+2z^2$
Складывая получаем, что сумма квадратов равна нулю, т.е. $\lfloor z\rfloor \left\{z\right\} =1$, следовательно $z=n+\frac{1}{n}, n\in Z$ (Z-целые).
Далее, упорядочим по модулю: пусть $x$- наибольший, тогда 2ое уравнение будет иметь вид: $y^2+z^2=2x^2\geq y^2+z^2$, значит $|x|=|y|=|z|$
Ответ: $|x|=|y|=|z|=n+\frac{1}{n}, n\in Z$ (x, y, z -любого знака).