Теорема о нетривиальности центра p-группы

[Kane]

Если G — группа, то Z(G) — центр, т.е. множество элементов, перестановочных со всеми элементами группы G.

Необходимо доказать, что Z(G) нетривиален, если G — p-группа, т.е. |G|=p^n, где p — простое число.

В своём конспекте, к великому сожалению, вместо внятного доказательства нашёл лишь что-то непонятное. Поскольку в доказательствах я не силён, то буду очень признателен, если кто-то поможет мне разобраться с этой теоремой, либо приведёт ссылки на доказательство в к-л литературе.

P.S. Судя по моим записям, в доказательстве лектор как-то использовал индекс (число смежных классов по этой подгруппе) N_{G}(g) (нормализатора элемента g из G), а так же тот факт, что Z(G) — нормальная подгруппа G.

[Sonic86]

Винберг Курс алгебры, параграф теорема Силова, в нем теорема 1. (но придется прочесть еще параграф предварительно).
Кратко: $|Gx|=\frac{|G|}{|St _G(x)|} \Rightarrow C(x)=\frac{|G|}{Z(x)} \Rightarrow |G \setminus Z(G)| = \sum\limits_{K}|K|$ делится на $p$ ($K$ - классы сопряженных элементов $gxg^{-1}$), и тогда $|Z(G)|=|G|-|G \setminus Z(G)|$ делится на $p$.

[Kane]

Sonic86
спасибо, постараюсь разобраться.