норма оператора кого-то

[RIP]

Рассмотрим оператор $A\colon L_2(0;1)\to L_2(0;1)$, заданный формулой

$$Af(x)=\frac1x\int\limits_0^xf(t)\,dt.$$

Найти его норму.

P.S. Знаю, что оператор какой-то известный, но имени не помню. Подскажите, кто знает. Желательно без ссылок на решение .

[Руст]

Название вроде есть. Только я тоже не помню названия. Норма естественно равно 1. Собственные функции t^n с собственным значением 1/(n+1). Приближая любую функцию полиномами убеждаемся, что норма |Af|<=|f|.
Упустил, что n может быть любым не целым n>=-1/2.

[Brukvalub]

Руст писал(а):

Название вроде есть. Только я тоже не помню названия. Норма естественно равно 1. Собственные функции t^n с собственным значением 1/(n+1). Приближая любую функцию полиномами убеждаемся, что норма |Af|<=|f|.
Упустил, что n может быть любым не целым n>=-1/2.

Цитированные выше утверждения противоречат друг другу. Если

Цитата:

собственные функции оператора t^n с собственным значением 1/(n+1)

и

Цитата:

n может быть любым не целым n>=-1/2

, то его норма должна быть не меньше, чем 2. С другой стороны, чуть выше утверждается, что

Цитата:

Норма естественно равно 1

???

[Руст]

Естественно норма в L2 есть 2 (в L1 неограничена). Я не стал исправлять первоначальную ошибку, оставляя это другим, так же и само доказательство.