Непрерывность векторного произведения

[Moonlord]

Вопрос такого типа-как доказать непрерывность векторного произведения, если каждый вектор сам по себе непрерывен в точке.Его надо как-то раскрывать через синус или не пойму как тут действовать.
Аналогичный вопрос возникает и для композиции отображений.

[мат-ламер]

Векторное произведение линейно. Что можно сказать о непрерывности линейного отображения?

[ewert]

мат-ламер в сообщении #523052 писал(а):

Векторное произведение линейно. Что можно сказать о непрерывности линейного отображения?

Линейность векторного произведения -- факт достаточно нетривиальный (в том смысле, что его надо доказывать, и это доказательство не совсем банально).

Далее. Векторное произведение обычно даётся независимо от линейной алгебры.

[Moonlord]

Вот и как доказать его линейность-не подскажите?А то сообразить у меня как-то не вышло

[JMH]

Я бы доказывал линейность векторного произведения исходя из его определения. Записал бы векторное произведение в виде определителя, как это обычно делается, далее очевидно.

[Zidan98]

Moonlord в сообщении #523108 писал(а):

Вот и как доказать его линейность

да, через линейность определителя, что мешает?

[Moonlord]

Спасибо,действительно через определитель можно..
Ещё вопрос-Как доказать,что норма-непрерывна?

[JMH]

Moonlord в сообщении #523174 писал(а):

Ещё вопрос-Как доказать,что норма-непрерывна?

Никак - не любая норма непрерывна.

[Moonlord]

Хм...А что тогда может значить вопрос про непрерывность нормы?Что тогда можно сказать вообще про это?

[JMH]

Вопрос наверняка подразумевает некую определённую норму, например Евклидову. В этом случае берёте определение нормы и проверяете на непрерывность.

[Moonlord]

Ага,т.е. например в Евклидовой норме я уже смогу доказать, например через эпсилон-дельта, что функция непрерывна в некоторой точке?

[ewert]

JMH в сообщении #523129 писал(а):

Я бы доказывал линейность векторного произведения исходя из его определения. Записал бы векторное произведение в виде определителя, как это обычно делается

Обычно определитель -- это не определение, а свойство векторного произведения (выводимое наиболее естественным образом как раз из свойства линейности). Определять векторное произведение через определитель, в принципе, тоже можно, но это плохое определение -- заранее геометрически не инвариантное.

Moonlord в сообщении #523108 писал(а):

Вот и как доказать его линейность-не подскажите?

У вас в курсе или у Вас в книжке это должно было доказываться. Как конкретно -- очень сильно зависит от последовательности изложения.

JMH в сообщении #523198 писал(а):

Никак - не любая норма непрерывна.

Поскольку речь явно идёт о конечномерной теории -- любая норма непрерывна в любом смысле. Конкретно же насчёт

Moonlord в сообщении #523174 писал(а):

Как доказать,что норма-непрерывна?

-- тут, судя по всему, речь шла о непрерывности нормы относительно самой себя (как числовой функции векторного аргумента). Тогда это -- прямое следствие неравенства треугольника, т.е. одной из аксиом нормы.

[Moonlord]

ewert в сообщении #523233 писал(а):

У вас в курсе или у Вас в книжке это должно было доказываться. Как конкретно -- очень сильно зависит от последовательности изложения.

Вот как раз в нашем курсе это сказано доказать самостоятельно, видимо считается,что это очень очевидные вещи.

ewert в сообщении #523233 писал(а):

-- тут, судя по всему, речь шла о непрерывности нормы относительно самой себя (как числовой функции векторного аргумента). Тогда это -- прямое следствие неравенства треугольника, т.е. одной из аксиом нормы.

Действительно,хотят именно это,но подскажите мне пожалуйста,какую замену надо сделать в неравенстве треугольника-его правой части, чтобы преобразовать в левую часть.Это очень легкий вопрос,но я как-то не выходит сообразить.

[ewert]

Moonlord в сообщении #523255 писал(а):

Вот как раз в нашем курсе это сказано доказать самостоятельно, видимо считается,что это очень очевидные вещи.

Это -- совсем не очевидная вещь (хотя и несложная). Повторюсь: всё зависит от строения курса.

Допустим, что у вас курс нормальный и векторное произведение в нём определяется традиционно -- через длины, синусы и прочие буравчики. Тогда далее наиболее разумная последовательность такая. Сачала вводим смешанное произведение и сразу же выясняем, что это плюс-минус объём параллелепипеда. Откуда мгновенно следует правило циклической перестановки. Линейность достаточно доказывать по каждой координате, а координата получается скалярным умножением на базисный орт. Так вот: например, в выражении $\vec i\cdot[(\alpha\vec a+\beta\vec b)\times\vec c]$ циклической перестановкой выводим сумму из-под противного векторного умножения на приятное для глаза скалярное, для которого линейность считается уже известной (хотя и она, между прочим, не вполне тривиальна), там раскрываем скобки и обратной циклической перестановкой возвращаем сомножители в положенные им места. Потом из линейности уже вполне тупо получается стандартное координатное представление в виде определителя.

Примерно так, например, делает Беклемишев, только он странный человек: сначала определяет смешанное произведение как объём и лишь потом "угадывает", что если ввести векторное произведение стандартным образом, то объём получится формально именно как произведение.

А вот Александров действует в обратном порядке: он сначала вводит векторное произведение, потом смешанное и вытаскивает оттуда сразу же координатное представление, но -- исходя из выражения для объёма через определитель, которое он предлагает доказать в качестве упражнения. Ещё больший чудак.

Moonlord в сообщении #523255 писал(а):

подскажите мне пожалуйста,какую замену надо сделать в неравенстве треугольника-его правой части, чтобы преобразовать в левую часть.Это очень легкий вопрос,

Судя по всему, Вам нужно вывести неравенство $\big|\|x\|-\|y\|\big|\leqslant\|x-y\|$ из стандартного неравенства треугольника $\|a+b\|\leqslant\|a\|+\|b\|$. Ну так неравенство с модулем равносильно системе из двух неравенств для просто разности норм, а каждое из этих двух неравенств сводится к неравенству треугольника просто перекидыванием той из норм, что с минусом, в правую часть и потом соответствующим переобозначением векторов.

[Moonlord]

Спасибо большое за подсказку