Решить систему

[myra_panama]

Решить систему уравнению.
$x+y+z=0$

$x^3+y^3+z^3=18$

$x^7+y^7+z^7=2058$

[gris]

Одно решение прямо в глаза кинулось. А мне больше никогда и не надо
Минус раз — минус два — просто три!

[sergei1961]

Надеюсь сумму не нужно в седьмую степень возводить?

[myra_panama]

gris в сообщении #522886 писал(а):

Одно решение прямо в глаза кинулось. А мне больше никогда и не надо
Минус раз — минус два — просто три!

Ну да конечно, я тоже этого нашел
вот корни $-3,1,2$ , $1,2,-3$ , $1,-3,2$
НО КАК РЕШИТЬ

[sergei1961]

Тупое то решение есть, но это и так всем очевидно. То есть: выразить z и подставить в два других уравнения, применить стандартную замену для симметричных систем, введя $u=x+y,v=xy$. Тупо раскладываем в третьем уравнении по биному, выполняем указанную замену, тупо подставляем $u$ через $v$ из второго в третье. Там удачно сокращается всё на 42, получаем уравнение высокой степени, но так как из первого поста мы знаем три целых решения, то всё заканчивается благополучно. Кажется.
Интересно увидеть что-то с проблесками мысли, без тупого счёта. Автор знает такое решение?

[myra_panama]

Ну я что то туплю.....

Если $x,y,z$ , решение многочлена: $ P(t)=t^3+at^2+bt+c $
Из Теорему Виета получаем: $x+y+z=-a$ , отсюда $a=0$

$ P(t)=t^3+bt+c $

$x^3+bx+c=0$

$y^3+by+c=0$

$z^3+bz+c=0$

складывая все эти уравнении получаем:
$c=-6$
Отсюда : $P(t)=t^3+bt-6$

Ну типа так, если я на верном пути.... А как найти $b$ как то туплю....

[Klad33]

Вообще-то решений 6:
x y z
---------
3 -1 -2
3 -2 -1
-1 3 -2
-1 -2 3
-2 3 -1
-2 -1 3

Это действительные корни. Но есть и комплексные:

x = -0.3937-2.7322 i
y = 0.7874
z = -0.3937+2.7322 i

PS myra_panama дал три неверных решения. Если их подставить, будут отрицательные свободные члены. Внимательнее надо!

[myra_panama]

myra_panama в сообщении #522924 писал(а):

gris в сообщении #522886 писал(а):

Одно решение прямо в глаза кинулось. А мне больше никогда и не надо
Минус раз — минус два — просто три!

Ну да конечно, я тоже этого нашел
вот корни $-3,1,2$ , $1,2,-3$ , $1,-3,2$
НО КАК РЕШИТЬ

Ошибся с корнями

-- Ср янв 04, 2012 20:05:50 --

myra_panama в сообщении #523017 писал(а):

Отсюда : $P(t)=t^3+bt-6$

Ну типа так, если я на верном пути.... А как найти $b$ как то туплю....

Н
у типа $b=-7$ , по моему...

$ P(t)=t^3-7t-6 $
Корни многочлена:
$ P(t)=0 $
t=-1,-2,3

Отсюда найдем что наше система имеет корни:

Klad33 в сообщении #523021 писал(а):

Вообще-то решений 6:
x y z
---------
3 -1 -2
3 -2 -1
-1 3 -2
-1 -2 3
-2 3 -1
-2 -1 3

[Edward_Tur]

Короткое решение с использованием тождеств:
${x^3} + {y^3} + {z^3}= 3 \cdot xyz $;
${x^5} + {y^5} + {z^5}= 5/6 \cdot ({x^2} + {y^2} + {z^2})({x^3} + {y^3} + {z^3}) $;
${x^7} + {y^7} + {z^7}=7/10 \cdot ({x^2} + {y^2} + {z^2})({x^5} + {y^5} + {z^5}) $.
Получаем два многочлена $P(t)=t^3-7t-6$ и $P(t)=t^3+7t-6$.
Система имеет 2 решения, с точностью до перестановок, одно из которых - комплексное.

[myra_panama]

Edward_Tur в сообщении #523050 писал(а):

Короткое решение с использованием тождеств:
${x^3} + {y^3} + {z^3}= 3 \cdot xyz $;
${x^5} + {y^5} + {z^5}= 5/6 \cdot ({x^2} + {y^2} + {z^2})({x^3} + {y^3} + {z^3}) $;
${x^7} + {y^7} + {z^7}=7/10 \cdot ({x^2} + {y^2} + {z^2})({x^5} + {y^5} + {z^5}) $.

Откуда просто так появились эти тождества или есть какие то условия, даа
Ну вроде, если $x+y+z=0$ , то $x^3+y^3+z^3=3xyz$ , и так далее...??

-- Чт янв 05, 2012 06:23:28 --

Edward_Tur в сообщении #523050 писал(а):

Получаем два многочлена $P(t)=t^3-7t-6$ и $P(t)=t^3+7t-6$.

Проблема в этом что я не смог найти b , только я предполагал так что оно принимает 7,-7... а как решить...

[myra_panama]

Фсем форум чанам, помогите найти $b$ , я до сих пор не могу как найти ,я знаю что это 7,-7 но ккккааакк

[Edward_Tur]

myra_panama в сообщении #523442 писал(а):

Фсем форум чанам, помогите найти $b$ , я до сих пор не могу как найти ,я знаю что это 7,-7 но ккккааакк

Тождества см. здесь:
topic27493.html
Из тождеств получаем: $x^2+y^2+z^2=\pm 14$.
$2b=2(xy+yz+zx)=(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)=\pm 14$.

[Simba]

Друзья, а как вам так? $x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=0=18-3xyz$
Значит, $xyz=6$. Тройки где есть $1,1,6$ (с разными знаками естественно) не подходят в силу $x+y+z=0$. Остется $1,2,3$, в силу того же выражения выясняем, что подходит единственная тройка $-1,-2,3$ (а значит решений $3!=6$), что удовлетворяет и 3ему выражению.

[Shadow]

Simba В задаче нет условие на целочисленость. И система
$\\x+y+z=0\\ xyz=6$
имеет бесконечное множество нецелых решений. Если было условие на целочисленост, то да

[RIP]

Можно просто формулы Ньютона применить: довольно быстро получаем $x^7+y^7+z^7=-7b^2c$.